函数可积的充要条件：
若函数 ff 在 [a, b] 上可积，则 ff 在 [a, b] 上必有界； 反证法，逆否命题，无界 ⇒ 不可积；可积函数一定有界，有界函数不一定可积（比如狄利克雷函数，全取有理数，全取无理数，趋于不同的值，1和0）； 有界是可积的必要条件。
要判断一个函数是否可积，固然可以根据定义，直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知，因此这是极其困难的。
扩展资料
勒贝格积分是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到其它函数，并且也扩展了可以进行积分运算的函数的范围。
最早对积分运算的定义是对于非负值和足够光滑的函数来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积。
但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生（比如为了讨论数学分析中的极限过程，或者出于概率论的需求），很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。
参考资料来源：
为什么函数f(x)可积,但是它的原函数不一定可积
若函数 ff 在 [a, b] 上可积，则 ff 在 [a, b] 上必有界； 反证法，逆否命题，无界 ⇒ 不可积；可积函数一定有界，有界函数不一定可积（比如狄利克雷函数，全取有理数，全取无理数，趋于不同的值，1和0）； 有界是可积的必要条件。要判断一个函数是否可积，固然可以根据定义...
请问函数可积与原函数存在的关系
可积和原函数存在完全两个概念。可积但原函数不一定存在，原函数存在不一定可积，二者没有必然关系。可积的充分条件：函数连续或函数在区间上有界且有有限个间断点。或函数在区间单调。原函数存在的充分条件：连续。另外函数含有第一类间断点，那么不存在原函数，含无穷型的间断点也不存在原函数。问题一...
可积一定存在原函数吗?
可积但原函数不一定存在，原函数存在不一定可积，二者没有必然关系。可积的充分条件函数连续或函数在区间上有界且有有限个间断点。或函数在区间单调。原函数存在的充分条件、连续。另外函数含有第一类间断点，那么不存在原函数，含无穷型的间断点也不存在原函数。可积的函数特点 我们说一个实变或者复变...
积分可积但原函数一定不存在吗?
函数可积不一定存在原函数。可积是只定积分，而定积分可积的必要条件是函数有界；可积的充分条件有：连续；或有界且只有有限个间断点；或单调。同时注意到f（x）在x=0处是间断的，只不过. 是第二类间断点；存在第一类间断点的函数是不存在原函数的。 积分的主要任务就是找到原函数。不过有的可积...
为什么f(x)可积, g(x)不确定可积呢?
如果f(x)在[a,b]可积，则g(x)也可积，且他们积分相等。可以设g是f在闭子区间上子函数。证明：对任意分割，这两个函数的积分定义求和式的差值小于一个定值，且分割间隔趋于0时，此定值也趋于0，所以这两个函数积分定义求和式在分割间隔趋于0时有相同极限，再根据积分定义，可得g(x)可积。
函数可积一定存在原函数吗?
一个函数，可以存在不定积分，而存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质...
存在原函数一定可积吗?
函数可积不一定存在原函数。按条件的强度来说，可积是个较弱的条件，因为可积的充分条件是“在闭区间上有界且只有有限个间断点。”可积的条件：可积的必要条件就是函数有界。函数可积，只能知道他的变限积分所构造的函数连续。连续是比可积稍强的条件，也就是说，闭区间连续一定可积，且必有原函数...
可积但原函数不一定存在对吗?
是有原函数的。如图，F'（X）存在原函数为F（X），但F'（X）不连续，震荡 关于可积：连续，一定可积，不连续，如果 有界且有 有限个间断点，也可积。结论：可积和原函数存在完全两个概念。两者不能互推。可积但原函数不一定存在，原函数存在不一定可积，二者没有必然关系。
为什么说函数有原函数不一定可积呢?
因为有原函数和可积分根本就是两个概念，我们所谓的由原函指的得是不定积分，如果f(x)可导则，f（x）一定连续， 可到的必要条件反过来不然，于是f（x）连续就一定有原函数，反之不对，（有原函数充分条件条件）所以我们说有第一类间断点的函数必然没有原函数 。如果函数间断就必然是有限个第二类...
...问题,求举个例子,可积不一定存在原函数,存在原函数也不一定可积?
只要第一类间断点是可数的就是可积的(因为改变某些点的函数值不影响积分的值)第二类间断点中无穷间断点不会有原函数，对于震荡间断点不能确定是否有原函数
