高一数学三角比问题（有答案，求过程。）

Question

1.三角形ABC中,a、b、c是三内角角A、角B、角C所对的边。
证明“a^2=b(b+c)”是“角A=2角B”的充要条件。
2.若sin^2(α)+2sin^2(β)=2cosα,求y=sin^2(α)+sin^2(β)的最大值与最小值（max=1，min=2根号2-2）
3.若cos^2(θ)+2msin(θ)-2m-2<0对任意实数恒成立，求m范围。答案：m>1-根号2

Answer 1

1。
a²=b（b+c）又余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA
于是：b（b+c)=b²+c²-2bccosA
∴c=（1+2cosA）b
正弦定理：sinC=（1+2cosA）sinB
sin（A+B）=sinB+2cosAsinB
sinAcosB+cosAsinB=sinB+2cosAsinB
sin(A-B)=sinB 又A,B∈（0，π）==>A-B=B, A=2B
因为上面步步可逆，所以翻过来一样可以证明，故为充要条件。
2。
sin²α+2sin²β=2cosα
2sin²β=2cosα-sin²α=cos²α+2cosα-1》0，解：cosα》-1+√2或cosα《-1-√2（舍弃）
所以：cosα的范围是：[-1+√2,1]
2（sin²α+sin²β）=sin²α+2cosα=-cos²α+2cosα+1=-（cosα-1）²+2
cosα的范围是：[-1+√2,1]
当cosα=1，-（cosα-1）²+2最大值2，
当cosα=-1+√2时，-（cosα-1）²+2取最小值（4√2） -4
所以：sin²α+sin²β的最大值为：1，最小值为：（2√2） -2

3。
cos²θ+2msinθ -2m-2<0
1-sin²θ+2msinθ-2m-2<0
-1-sin²θ<2m(1-sinθ）
当sinθ=1时，恒成立；
当sinθ≠1时，2m>-(1+sin²θ)/（1-sinθ）
-2m<（1-2sinθ+sin²θ +2sinθ）/（1-sinθ）=(1-sinθ)+2/(1-sinθ) -2
》2√2-2恒成立，
则：-2m<2√2-2
m>1-√2

Answer 2

1.由正弦定理：sin²A=sin²B+sinBsinC ① sinc=sin(A+B)
又因sin²A-sin²B=sin(A+B)sin(A-B) 代入①(此式可证明 略)
sin(A+B)sin(A-B)=sinB+sin(A+B) 所以A-B=B A=2B
2.sin²β=0.5(sin²a-2cosa) 2cosa=√1-sin²a
y=sin²a+0.5(sin²a-2cos√1-sin²a) 令sin²a=t 再求导可得解
3.同理与2一样 转化为同名函数 构造一个新函数 在求导
然后就是一个恒成立问题了 自己算吧！