求解这道不定积分

Question

图中是通过什么方法将1/(X+1)(X-2)转换成1/3*1/X-2-1/X+1的。这个形式的用了什么分式的性质吗？求方法，我想明白原理 麻烦各位大佬了。

Answer 1

本题实质是分数的通分及分解计算:

因为1/b-1/a=(a-b)/ab；

所以1/ab=[1/(a-b)](1/b-1/a)

对于本题a=x+1，b=x-2，则

a-b=x+1-(x-2)=x+1-x+2=3

则1/(x+1)(x-2)=(1/3)[1/(ⅹ+1)-1/(x-2)]

故:∫dⅹ/(x+1)(x-2)

=(1/3)∫[1/(x-2)-1/(x+1)]dx。

用图片解答过程如下图所示:

Answer 2

见下图：

Answer 3

1/(x+1)(x-2)=[a/(x+1)]-[b/(x-2)]=[a(x-2)-b(x+1)]/(x+1)(x-2)=[(a-b)x-(2a+b)]/(x+1)(x-2);
∴ a-b=0..........①； 2a+b=-1............②
由①得a=b；代入②式得 3a=1，故a=1/3=b;
∴1/(x+1)(x-2)=(1/3)[1/(x-2)-1/(x+1)];

Answer 4

方法是用待定系数法将有理分式化为部分分式， 本科高等数学教科书上都有的。
1/[(x+1)(x-2)] = a/(x+1) + b/(x-2) = [a(x-2)+b(x+1)]/[(x+1)(x-2)]
= [(a+b)x+(b-2a)]/[(x+1)(x-2)]
两边分母相同，分子也应相同。比较两边分子 x 同次幂的系数， 得
a+b = 0, b-2a = 1, 联立解得 a = -1/3, b = 1/3,
则 1/[(x+1)(x-2)] = (1/3)[1/(x-2)-1/(x+1)]。

Answer 5

待定系数法而已