芝诺的悖论能用微积分解释吗？

Answer 1

是的，芝诺的悖论可以通过微积分来解释。芝诺的悖论是一系列哲学问题，其中最著名的可能是“阿基里斯与乌龟”的悖论。在这个悖论中，阿基里斯让乌龟领先一段距离，然后开始追赶。但是，每当阿基里斯到达乌龟之前的位置时，乌龟又前进了一点。因此，阿基里斯永远无法超过乌龟。
这个悖论的解决方法在于无穷级数的理解。阿基里斯需要完成的距离是一个无穷级数：先走乌龟领先的那段距离，然后走乌龟在这段时间内前进的距离，然后再走乌龟在这段时间内前进的距离，以此类推。这个无穷级数的每一项都在减小，而且减小得很快。
微积分中的一个基本概念就是无穷级数可以有一个有限的和。在这个例子中，阿基里斯需要走过的所有距离的和就是一个有限的数。因此，尽管阿基里斯需要走过无穷多个小段距离，但这些距离的总和是有限的，所以他最终可以超过乌龟。
这个解决方案需要接受无穷级数可以有有限和这个概念，这在微积分中是常见的，但在芝诺的时代，这个概念还没有被发现和接受。

Answer 2

根据中学所学过的无穷等比递缩数列求和的知识，只需列一个方程就可以轻而易举地推翻芝诺的悖论：阿基里斯在跑了1000（1+0.1+0.01+…………）=1000 (1+1/9)=10000/9阿基里斯悖论米时便可赶上乌龟。人们认为数列1+0.1+0.01+…………是永远也不能穷尽的。这只不过是一个错觉。

我们不妨来计算一下阿基里斯能够追上乌龟的时间为 t（1+0.1+0.01+…………）= t (1+1/9)=10t/9芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟，就隐藏着时间必须小于10t/9这样一个条件。

由于阿基里斯和乌龟是在不断地运动的，对时间是没有限制的，时间很容易突破10t/9这样一个条件。一旦突破10t/9这样一个条件，阿基里斯就追上了或超过了乌龟。

人们被距离数列1+0.1+0.01+…………好像是永远也不能穷尽的假象迷惑了，没有考虑到时间数列1+0.1+0.01+…………是很容易达到和超过的了。但是不是所有的数列都能达到，所以，我们看问题不能太极端。例如无论多少个点也不能组成直线，对于点的个数来说，我们就永远无法穷尽它。

扩展资料：

这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。

芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。

这些方法可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。

这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的机械论的分歧点。

参考资料：芝诺悖论-百度百科