请教数学大神广义积分

Question

求详细过程

Answer 1

答案是4/3
这道题主要用到了，换元法
但是这道题是定积分，当换源的时候，你要注意积分上下限的变化，不注意的话，很可能会出现正负以及值的错误
在令x=u分之一时注意上下限产生一个负号和du分之一产生的负号消去
再令t等于根号下u+1的时候要注意下线，变成了一
具体的过程可以看我的图片，解答
要注意，这是不定积分，所以两部分不能分开来算，一定要一起算，就算分开算他的积分存在，也不能确定原积分就是存在的，所以一定要合在一起算，这个是不定积分的，易错点

追答

刚刚图片不清楚，这个清楚些

Answer 2

倒置换 ， 令 x = 1/u，则
I = ∫<下+∞, 上0>∫(-du/u^2)/[(1/u)(1/u+1)^5]
= ∫<下0, 上+∞>∫udu/(1+u)^(5/2)
令 (1+u)^(1/2) = v , 则 u = v^2-1, du = 2vdv
I = ∫<下1, 上+∞>∫2v(v^2-1)dv/v^5
= 2∫<下1, 上+∞>∫(1/v^2-1/v^4)dv
= 2[-1/v + (1/3)/v^3]<下1, 上+∞> = 2(1-1/3) = 4/3

Answer 3

分享一种解法。设t=x/(x+1)。x=t/(1-t)。∴原式=∫(0,1)(1-t)dt/√t=[2√t-(2/3)t^(3/2)]丨(t=0,1)=4/3。
供参考。

追问

请问大神你是怎么知道要这样设的

设t=x/(x+1)。x=t/(1-t)这个怎么看不懂

Answer 4

希望写的很清楚

追答

拍个清楚的

Answer 5

（3）设u=√x,则x=u^2,dx=2udu,
原式=∫<0,+∞>2du/(u^2+1)^(5/2)
设v=arctanu,则u=tanv,du=(secv)^2dv,
原式=∫<0,π/2>(cosv)^3dv
=[sinv-(1/3)(sinv)^3]|<0,π/2>
=2/3.