柯西积分公式

Question

证明

Answer 1

柯西积分公式的基本内容是这样叙述的：
　　若函数f（z）在简单正向闭曲线C所围成的区域D内解析，在区域D的边界C上连续，Zo 是区域D内任意一点，则有
　　f（Zo）= 1 / 2πi （ ∮c f（z）/z-Zo dz） （不会打符号，请见谅！）
　　柯西积分公式对于无界区域也成立（图10.9（c））：如果无界区域 D（包含∞在内， D的边界是有限条简单闭曲线C，函数在内除了点∞外是解析的，而在闭域（D+C）上除了点∞外连续，同时当z趋于∞时存在limf（z）=f（∞），则对D内任一点z有
　　f（z）= f（∞） - 1 / 2πi（ ∮c f（ξ）/ξ-z dξ）
　　（其中C的方向取负方向） [编辑本段]柯西积分公式的推导　　柯西积分公式本身就是柯西积分定理最直接、最重要的推论。利用我们所熟知的柯西积分定理，
　　其证明过程是很简洁的。在此不再赘述。 [编辑本段]柯西积分公式重要推论与应用　　柯西积分公式是一把钥匙，他开启了许多方法与定理，以下就是重要的几个例子：
　　 平均值定理
　　如果函数f（z）在圆│ξ-Zo│＜R内解析，在闭圆 │ξ-Zo│≤R 上连续，则f（z）在圆心Zo的值等于它在圆周上的值的算术平均数，也即
　　f（Zo） = 1/2π （∫（上限2π、下限0） f（Zo + Rexp（iφ）） dφ）
　　
　　证明时，只需将Z=Zo+Rexp（iφ））带入即可。（见右图）
　　此定理对于调和函数的研究、微分方程都有很大作用，在他基础上还有很多推论，例如极值原理等定理。
　　 解析函数无穷可微性
　　
　　一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的 值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定, 更不要说它有高阶导数存在了.
　　而利用柯西积分公式可以做数学归纳法证明如下定理：
　　 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:(见右图)
　　n！/ 2πi （ ∮c f（z）/（z-Zo）^(1+n) dz）
　　由定理可知，由函数在区域D内的 解析性，不仅推出其导数的连续性，而且也推出其各阶导数在D内存在且连续。这是解析函数与一元实变量可微函数本质区别。这便是解析函数所具有的极好的性质,也使得人们对它的研究更具意义,让解析函数论能够单独脱离于实函数而充满活力!
　　 柯西不等式
　　其公式如右图所示,它给出了一个很有用的估计导数的方法.
　　 Liouville定理
　　
　　有界整函数必为常数.
　　利用柳维尔定理可以行反证法简洁证明代数学基本定理:
　　一元n次方程在复数域内必有解
　　
　　
　　 Morera定理
　　即柯西积分定理的逆定理:
　　(柯西积分定理:　设C是一条简单闭曲线，函数f（z）在以C为边界的有界区域D内解析，在闭区域D‘上连续，那么有:　f(z)对曲线的闭合积分值为零。)
　　如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于D内的任一条简单闭曲线C，我们有∮c f(z) dz =0
　　那么f(z)在区域D内解析。
　　他刻画了解析函数的又一种定义. [编辑本段]柯西积分公式推广　　设C为任意简单逐段光滑曲线,f(ξ)是在C上有定义的可积函数,则具有如下形式的积分称为柯西型积分:
　　 1 / 2πi （ ∮c f（ξ）/ξ-z dξ） z不属于C
　　对于复变函数的研究颇具意义