已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）。（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f

Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）。（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对任意的t∈[1，2]，若函数g(x)=x 3 +x 2 [f′（x）+ ]在区间（t，3）上有最值，求实数m取值范围；（3）求证： ）（n∈N*且n>1）。

Answer 1

解：（1） ， 当a>0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当a<0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当a=0时，f（x）不是单调函数； （2） 得a=-2， ∴ ， ∴ ， ∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）=-2， ∴ ， 由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）<0恒成立， 所以， ， ∴ ； （3）令a=-1此时 ，所以f（1）=-2， 由（1）知 在（1，+∞）上单调递增， ∴当x∈（1，+∞）时，f（x）>f（1）， 即 ， ∴ ，对一切x∈（1，+∞）成立， 取 ，则 ，即 ，（n≥2）， ∴ 。