已知球面上四点A,B,C,D,且AB,AC,AD两两垂直、AB=1,AC=2,AD=3,求球的表面积与体积

Answer 1

这个题目我想了好多天，今天终于做出来了。做出来才发现不难，不过需要知道空间直角坐标系这个基本知识，其他方法我还没有想到。为了方便楼主理解，我用画图画了一个草图，这样可能比较形象具体。

言归正传，注意题目是AB,AC,AD两两垂直，什么东西是俩俩垂直呢？我们已经知道的就是xyz的坐标系了，也叫空间直角坐标系。那么我们以A点为原点，分别以AB,AC,AD为x y z 轴 作图，就能够确定B C D 的坐标

分别是B（1 0 0） C（0 2 0） D（0 0 3）

这样一来，我们会发现原来要求的球体就是这个三棱锥的外接球，那么我们就需要在空间某处求的一点到B C D的距离是一样的。假设该点为E（x y z）

于是我们根据球半径相等可以写出AE=BE=CE=DE

也就是方程

x^2+y^2+z^2=（x-1）^2+y^2+z^2=x^2+(y-2)^2+z^2=x^2+y^2+(z-3)^2

千万不要觉得次方程无解，稍微计算一下就会发现有一组解合适：

x=1/2 y=1 z=3/2

于是我们知道了球心的位置是（1/2 1 3/2）

这样一来半径也就知道了，带入x^2+y^2+z^2，然后开方，可得r=根号（7/2）

那么球的表面积就是S=4πr^2=28π

       体积是V=(4πr^3)/3=7根号14π/3

此时我猜想有一个潜在的做题规律，凡是两两垂直的，且四点又都在球上的题目，球心位置就是各边长处以2的位置。楼主可以再试试其他类似题目已验证该规律的正确与否，并加以完善。

顺便说一下，百度这个答题不是很方便啊，数学符号都没有。。。。。。

但愿我这个答案是对的吧，希望能有帮助。