如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，AB=AD=AP=1，PB＝PD＝2，E和F分别是CD和PC的中点．（1

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，AB=AD=AP=1，PB＝PD＝2，E和F分别是CD和PC的中点．（1）求证：PA⊥底面ABCD；（2）求证：平面FBE∥平面PAD；（3）求三棱锥F-BCE的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵AB=AD=AP=1，PB＝PD＝

2

，
∴PA²+AD²=PD²，∴PA²+AD²=PD²，
∴∠PAD=90°，∴PA⊥AD，
同理可得：PA⊥AB，AB∩AD=A
∴PA⊥底面ABCD．
（Ⅱ）证明：∵AB∥CD，CD=2AB，E是CD的中点，
∴ABED为平行四边形，
∴BE∥AD，
又∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
由于EF是△PCD的中位线，∴EF∥DP，
同理得∴EF∥平面PAD，
又EF∩BE=E，
∴平面FBE∥平面PAD．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知PA⊥底面ABCD，
由已知AP=1，F是PC的中点，得F到底面ABCD的距离为

1

2

PA＝

1

2

，
由已知AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，AB=AD=1，
S_△BCE=

1

2

×1×1＝

1

2

，
∴三棱锥F-BCE的体积V=

1

3

×

1

2

×

1

2

＝

1

12

．