lim[tan(tanx)-sin(sinx)]/x³，x趋近于0的极限是1，具体解答

Question

关于lim[tan(tanx)-sin(sinx)] 的问题，那个什么欧几里得原理得到的答案0.5x^3我提出质疑，因为在加减法中不能运用等价替换。剩下如题~请高手们解答啊~~~求解！！！灰常感谢啊~~~my humble gratitude！！！

Answer 1

本人是高数新手，但是我想提出一点，在加减法中不能简单的应用等价替换，但是稍作改变就可以应用，这是因为：一个无穷小等于其等价无穷小加上其高阶无穷小（在自变量的同一变化过程中），不知应用此法你是否可以解答。

Answer 2

利用级数可以做吧，
tanx=x+x^3/3+2x^5/15+O(x^6)=T+O(x^6),
tanT=T+T^3/3+2T^5/15+O(T^6)=x+2x^3/3+3x^5/5+O(x^6);
sinx=x-x^3/6+x^5/120+O(x^6)=S+O(x^6),
sinS=S-S^3/6+S^5/120+O(S^6)=x-x^3/3+x^5/10+O(x^6).
则
lim[tan(tanx)-sin(sinx)]/x^3，x->0
=lim[(x+2x^3/3+3x^5/5)-(x-x^3/3+x^5/10)]/x^3，x->0
=lim(x^3+x^5/2)/x^3，x->0
=1.

Answer 3

=lim{x-