初三的三道二次函数题目

Question

已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A(-1,-18),B(1，a)且对称轴为直线x=2
(1) 求这个函数的解析式.
(2) 何时y随x的增大而增大?何时y随x的增大而减小?
(3) 求函数的最大值或最小值和此时自变量的值.

已知抛物线y=x2+2x+m-1
(1) 若抛物线与x轴只有一个交点,求m的值.
(2) 若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点,求m的值.

将抛物线y=x2向上平移后,使它的顶点C和它在x轴上的两个交点A,B组成等边三角形ABC,求此时抛物线的解析式.

这三道题目,需要有详细的过程,回答好的再加分.

Answer 1

解

一、

 y=ax²+bx+c的对称轴为x= - b/2a, 而已知对称轴为直线x=2,

∴ −b/2a = 2,

∵a ≠ 0 ,

∴b = −4a   ①  

又图像经过A(-1,-18), B(1，a),

∴ -18=a+4a+c ⇒ 5a+c=-18         ②,  及  a=a-4a+c ⇒ c=4a              ③,  

③代入②,    9a = -18      ⇒a= -2    ④,

④代入 ③,     c= -8    ⑤ 

④代入①,     b=8   ⑥, 

 ④、⑥、⑤代入y，y= -2x²+8x-8 ,

∴  -2x²+8x-8是这个函数的解析式;

 (2)由(1)求得  y= -2x&sup2;+8x-8 ,由a= -2<0知其开口朝下,已知x=2为其对称轴,

                                 

 ∴在x属于(-∞,2]时, y随x的增大而增大, 而在x属于[2,∞)时, y随x的增大而减小;

 (3) 由a=-2<0知函数y只有最大值, y的顶点式为 y= -2(x-2)&sup2;

       ∴函数的最大值为0, 此时自变量的值为x=2 .

二、

⑴ 若抛物线y=x&sup2;+2x+m-1与x轴只有一个交点，那么x&sup2;+2x+m-1=0只有一个解，此时，

  △=2&sup2;-4(m-1)=0  ⇒ 4-4m+4=0 ⇒ -4m+8=0,

              ∴m=2  ；

(2)  若抛物线y=x&sup2;+2x+m-1与直线y=x+2m只有一个交点, 那么 

   x&sup2;+2x+m-1=x+2m  x&sup2;+ x-m-1=0

只有一个解，由于

      △=1-4(-m-1)=5+4m=0,

      ∴m= -5/4  ；

三、抛物线y=x&sup2; 与x轴只有一个交点(0, 0), 向上平移与x轴无交点,若向下平移距离c(c>0), 则此时抛物线与Y轴的交点为C (−c, 0), 解析式为

                          y=x&sup2; -c ,

令y=x&sup2; -c=0, 则得如图所示的两个交点A(-√c  ,   0 )、B（√c, 0),由于题设△ABC为等边三角形,

           ∴tan⅙ π =√c/c ⇒√c/c= √3/3 ⇒1/c=1/3,

           ∴ c=3,

           ∴ 此时抛物线的解析式: y=x&sup2; -3.

Answer 2

一
1）
带入两点
-18=a-b+c
a=a+b+c
对称轴为2 有
-(b/2a)=2
联立解得
a=-2 b=8 c=-8
y=-2x^2+8x-8
2)
y=-2x^2+8x-8
=-2(x^2-4x+4)
=-2(x-2)^2
当x<2时，y随x的增大而增大，当x>2，y随x的增大而减小
3）
开口向下，最大值在对称轴x=2处取得
最大值是0

二
1）
因为抛物线与x轴只有一个交点△=0
4-4（m-1）=0
m=2
2）
x^2+2x+m-1=x+2m
x^2+x-(1+m)=0有一个根
△=1+4（1+m）=0
1+m=-1/4
m=-5/4

三
应该是向下平移吧，否则没交点，或者是y=-x²
y=x^2-3
应该是向下平移吧。设向下平移k个单位，则y=x^2-k,k就是正三角形的高，可以求出B点坐标（3分之根号3k，0）代入y=x^2-k，解得k=3
===
如果原题是y=-x²，那么解析式就是y=-x²+3

Answer 3

1) Use vertex form,
y = a(x-2)^2 + b
Plug in given two points,
-18 = 9a + b
a = a + b
=> b = 0, a = -2
Answer: y = -2(x-2)^2 = -2x^2 + 8x - 8

Since it opens down, when x < 2, it is increasing, and when x > 2, it is decreasing.

Also, since it opens down, y reaches its maximum at x = 2, y = 0
Therefore, y max = 0

2) (1) b^2-4ac = 4-4(m-1) = 0 => m = 2
(2) Plug in y = x+2m,
x+2m = x^2+2x+m-1
=> x^2+x - (m+1) = 0
b^2-4ac = 1+4(m+1) = 0
m+1 = -1/4
m = -5/4

3) Move down?
y = x^2 - c^2
x intercepts: x = -c, and c
By the property of 30-60-90 triangle,
c^2 = sqrt(3)c
Since c is not equal to 0, dividing both sides by c gives,
c = sqrt(3)
Answer: y = x^2 - 3

Hope it helps you.

美国高中数学物理老师

Answer 4

带入两点
-18=a-b+c
a=a+b+c
对称轴为2 有
-(b/2a)=2
联立解得
a=-2 b=8 c=-8

x<2,增
x>2减

最大值 0 x=2

Answer 5

1.(1) 依题意， a(-1)^2-b+c=-18, a+b+c=a, -b/(2a)=2.
==> a= -2, b= 8, c= -8. ==> y=-2x^2+8x-8=-2(x-2)^2.
(2) 函数是对称轴为x=2开口向下的抛物线，在对称轴左侧x=<2时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧x>=2时，y随x的增大而减小.
(3) 由（2）知函数在对称轴x=2处取得最大值0；没有最小值。

2. （1）配方，y=(x+1)^2+m-2.
抛物线与x轴只有一个交点, 即 y=0且x=-1. ==> m=2. (也可用delta=2^2-4(m-1)=0 ==>m=2)
(2) 联立y=x^2+2x+m-1,y=x+2m 得 x^2+x-m-1=0。
delta=1^2-4(-m-1)=0 ==> m=-5/4.

3. 应该是 将抛物线y=x2向下平移。设为 y=x^2-m^2, m>0. ==>顶点C(0,-m^2).
令 y=x^2-m^2=0 得x=正负m， 即交点 A(m，0), B(-m，0).
==》|AB|=2m，|AC|=根号[(0-m)^2+(-m^2-0)^2]=根号(m^4+m^2)=|BC|.
等边三角形ABC ==> |AB|=AC|=|BC|==> 2m=根号(m^4+m^2) ==> m^2=3.
抛物线的解析式 y=x^2-3.

Answer 6

(1)由对称轴为直线x=2，得-b/2a=2即-b=4a
因为图像经过A(-1,-18),B(1，a)，代入原式得方程a-b+c=-18和a+b+c=a
三个方程联立解得：a=-2,b=8,c=-8
所以y=-2x2+8x-8
(2)当x<2时，y随x的增大而增大，当x>2，y随x的增大而减小
（3）二次函数开口向下有最大值，为对称轴x=2所对应的点，把x=2代入函数得y=0

（1）因为抛物线与x轴只有一个交点△=0 即4-4（m-1）=0得m=2
（2）联立两方程得x2+x-(1+m)=0有且只有一个根（因为只有一交点）则△=1+4（1+m）=0得m=-5/4

没法做啊，应该是向下平移吧
设向下平移a个单位，则y=x2-a,a就是正三角形的高，又因为等边三角形中边长=2/根号3倍的高，且BC边=2根号a,推得: 根号a=1/根号3*a,得a=3
所以y=x2-3