已知函数f(x)=lnx-a/x

Question

当a>0时，判断f（x）在定义域上的单调性
若f（x）在[1,e]上的最小值为2，求a的值
急啊，有考试了

Answer 1

答：
f(x)=lnx-a/x
求导：f'(x)=1/x+a/x^2，x>0
1）
a>0时，f'(x)=1/x+a/x^2>0
f(x)是单调递增函数
2）
f(x)在[1,e]上的最小值为2
同1）知道，a>0时，x=1处取得最小值f(1)=0-a=2
解得：a=-2不符合舍去
显然，a=0也不符合
所以：a<0
f'(x)=1/x+a/x^2=0
解得：x=-a>0
0<x<-a时，f'(x)<0，f(x)是减函数
x>-a时，f'(x)>0，f(x)是增函数
当0<-a<=1即-1<=a<0时：x=1处取得最小值f(1)=0-a=2，a=-2不符合
当1<-a<=e即-e<=a<-1时：x=-a处取得最小值f(-a)=ln(-a)+1=2，a=-e，符合
当-a>e即a<-e时：x=e处取得最小值f(e)=1-a/e=2，a=-e，不符合
综上所述，a=-e

Answer 2

解：f'(x)=1/x+a/x²（x>0）
（1）、因为x>0且a>0所以f'(x)=1/x+a/x²恒大于0
即f(x)在定义域上递增
（2）、令f'(x)=0得：
x=-a
1、当a>-1时：
f(x)在[1,e]上是增函数
f(x)min=f(e)=ln1-a/1=-a=2
所以此时：a=-2（与a>-1矛盾，舍）
2、当-e<a<=-1时
f(x)在[1,-a]上是减函数，在[-a,e]上是增函数
f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=2,ln(-a)=1
得：a=0（与-e<=a<-1矛盾，舍）
3、当a<=-e时
f(x)在[1,e]是减函数
f(x)min=f(e)=lne-a/e=1-a/e=2
得：a=-e
综上知：a=-e

Answer 3

因为f(x)=lnx在N+上是增函数，
由a>0可知f(x)=-a/x在N=上也是增函数，
所以f(x)=lnx-a/x也是增函数，
所以当x=1时，f（x）达到最小，
所以f(x)min=-a=2，a=-2

Answer 4

将原函数求导 得F（x）=1/X - （-a）/x² =（1+a）/x²