已知函数f(x)=lnx-a/x,记函数f(x)图像在点(1,f(1))

Question

已知函数f(x)=lnx-a/x,记函数f(x)图像在点(1,f(1))处的切线方程为y=g(x)
(1)求g(x)的解析式
(2)设F(x)=f(x)-g(x),若F(x)在[1，正无穷)上单调递增,求a的取值范围
(3)若f(x)在[1,e]上的最小值为3/2,求a的值

Answer 1

解：（1）f(x)=lnx-a/x，函数定义域为（0，+∞），
求导得：f′（x）=(1/x)+a/x^2
f′（1）=1+a ,
点(1,f(1))即（1，-a）
所以函数f(x)图像在点(1,f(1))处的切线方程为：
y+a=(1+a)(x-1)
所以y=g(x)=(1+a)*x-(1+2a) 其中x∈（0，+∞）；
（2）F(x)=f(x)-g(x)=lnx-a/x-(1+a)*x+(1+2a)
求导得：
F′（x）=(1/x)+a/x^2-（1+a）
=[-（1+a)*(x^2)+x+a]/x^2
F(x)=f(x)-g(x),若F(x)在[1，+∞）上单调递增,
因此F′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
所以：-（1+a)*(x^2)+x+a≥0在[1，+∞）上恒成立，
当x=1时，明显成立，
当x≠1时，分离参数得：a≤1-1/（x+1)在（1，+∞）上恒成立，
因此a≤1/2
综上可知：若F(x)在[1，+∞）上单调递增,则a的取值范围为（-∞，1/2]
（3）由（1）知f′（x）=(1/x)+a/x^2，
若a≥0，则f′（x）>0,函数f（x）单调递增，在x=1处取得最小值，
此时最小值为-a≤0≠3/2
所以必须a<0
令f′（x）=0解得：x=-a
若-a≤1，即a≥-1时，则函数在[1,e]上单调递增，最小值为-a,
所以-a=3/2，a=-3/2与a≥-1矛盾，
若1<a≤e即-e≤a<-1时，函数在x=-a处取得最小值ln(-a)+1=3/2
解得a=-SQR(e);
当-a>e即a<-e时，函数在[1,e]上单调递减，函数在x=e处取得最小值[1-(a/e)]>2不可能为3/2；
综上可知：若f(x)在[1,e]上的最小值为3/2,则a的值为-SQR(e)。

SQR为根下的意思。

Answer 2

(1)f(x)'=1/x+a/x^2

所以g(x)过点（1，-a）斜率为：a+1

（2）F（x）=INx-（a+1）x-a/x^2

F(x)'=1/x+(a+1)/x^2+2a/x^3>0,1<=x

(3)f(x)'=(x+a)/x^2

1.a<-e,x+a<0
f(e)=3/2
a=-2/e
2.-e<=a<-1,f(-a)=3/2
a=-e^0.5
3.a>=-1,x+a>=0
f(1)=3/2
a=-3/2(不成立)