已知函数f（x）=（x3+ax2+bx+3）?ecx，其中a、b、c∈R．（1）当c=1时，若x=0和x=1都是f（x）的极值点，试

Question

已知函数f（x）=（x3+ax2+bx+3）?ecx，其中a、b、c∈R．（1）当c=1时，若x=0和x=1都是f（x）的极值点，试求f（x）的单调递增区间；（2）当c=1时，若3a+2b+7=0，且x=1不是f（x）的极值点，求出a和b的值；（3）当c=0且a2+b=10时，设函数h（x）=f（x）-3在点M（1，h（1））处的切线为l，若l在点M处穿过函数h（x）的图象（即动点在点M附近沿曲线y=h（x）运动，经过点M时，从l的一侧进入另一侧），求函数y=h（x）的表达式．

Answer 1

（1）当c=1时，f（x）=（x³+ax²+bx+3）?e^x，∴f^′（x）=[x³+（a+3）x²+（2a+b）x+（b+3）]?e^x．
∵x=0和x=1都是f（x）的极值点，∴

f′(0)＝0 f′(1)＝0

即

b+3＝0 (3a+2b+7)e＝0

，解得

a＝? 1 3 b＝?3

．
∴f′(x)＝?

1

3

x(x?1)(3x+11)，经验证可知：x=0或1都是函数f（x）的极值点．
由f^′（x）＞0解得x＜?

11

3

，或0＜x＜1．
∴f（x）的单调递增区间为(?∞，?

11

3

)，（0，1）；
（2）∵f^′（1）=（3a+2b+7）e=0，而x=1不是函数f（x）的极值点，∴x=1必是f^′（x）=0的二重根．
令f^′（x）=（x-1）²（x+d）e^x=[x³+（a+3）x²+（2a+b）x+（b+3）]e^x，比较系数得

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