已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=2/3与x=1时都取得极值 (1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间 (2)若对x属于...

Question

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=2/3与x=1时都取得极值
(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间
(2)若对x属于[-1,2]不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范围

Answer 1

函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=2/3与x=1时都取得极值
f'(x)=3x²+2ax+b
所以方程3x²+2ax+b=0的两根为2/3,1
2/3+1=-2a/3,a=-5/2
2/3=b/3,b=2
f'(x)<0,2/3<x<1
f'(x)>0,x<2/3,x>1
所以
函数f(x)的单调增区间为(-∞,2/3),(1,+∞)
单调减区间为(2/3,1)
(2)
由(1)得：f(x)=x³-5/2*x²+2x+c
若对x属于[-1,2]不等式f(x)<c²恒成立，则
x³-5/2*x²+2x+c<c²
x³-5/2*x²+2x<c²-c
设g(x)=x³-5/2*x²+2x,x∈[-1,2]
由(1)知函数g(x)在区间[-1,2/3)单增，在区间(2/3,1)单减，（1,2]单增
g(2/3)=8/27-5/2*4/9+2*2/3=14/27
g(2)=2
所以g(x)=x³-5/2*x²+2x,x∈[-1,2]的最大值为2
欲使x³-5/2*x²+2x<c²-c恒成立
需使2<c²-c恒成立，所以c<-1或c>2

Answer 2

(1)导函数f'(x)=3x²+2ax+b，
由已知，f'(2/3)=f'(1)=0，代入上式得4/3+4a/3+b=0
3+2a+b=0
解得a=-5/2，b=2
∴f'(x)=3x²-5x+2，令f'(x)＞0得x＜2/3或x＞1，令f'(x)＜0,得2/3＜x＜1
∴f(x)增区间为(-∞，2/3)和(1，+∞)，减区间(2/3，1)
(2) 由(1)得：f(x)=x³-5/2*x²+2x+c
若对x属于[-1,2]不等式f(x)<c²恒成立，则
x³-5/2*x²+2x+c<c²
x³-5/2*x²+2x<c²-c
设g(x)=x³-5/2*x²+2x,x∈[-1,2]
由(1)知函数g(x)在区间[-1,2/3)单增，在区间(2/3,1)单减，（1,2]单增
g(2/3)=8/27-5/2*4/9+2*2/3=14/27
g(2)=2
所以g(x)=x³-5/2*x²+2x,x∈[-1,2]的最大值为2
欲使x³-5/2*x²+2x<c²-c恒成立
需使2<c²-c恒成立，所以c<-1或c>2

Answer 3

（1）f(x)导完：f'(x)=3X^2=2ax
联立:f'(-2/3)=4/3-4/3a+b=0
f'(1)=3+2a+b=0
解得：a=-1/2 b=-2
(2)依题：f(x)=x^3+ax^2+bx+c<2c
移项：x^3+ax^2+bx<c
据（1），带入a，b得：x^3-1/2x^2-2x<c
即x（x^2-1/2x-2)<c
即求x^2-1/2x-2的最大值！

Answer 4

(1) f ' [2/3]=0,f ' [1]=0联立可求解a=-5/2,b=2；f'(x)=2 - 5 x + 3 x^2
x>=1||x<=2/3时，f'[x]>=0,单调增
2/3<x<1时，f'[x]<0，单调减
(2) c^2-c > 2 x - (5 x^2)/2 + x^3 ，此不等式恒成立
因此，c^2-c>不等式右侧表达式最大值
即c^2-c>2
所以c<-1||c>2