证明根号2是无理数

Question

最好用初中的知识，用到其他的请详细点，多种方法最好，多1种+50

Answer 1

上面的反证法是有漏洞的，题目要求证明√2是无理数，就相当于证明只有偶数的平方才是偶数，因此“只有偶数的平方才是偶数”是不能作为论据的，因为那是待证明的结论。

况且，既然假设了√2是有理数，那么√2这个“有理数”的平方就是偶数，何来“只有偶数的平方才是偶数”？

严格的反证法应该是：
假设√2是有理数，即√2=m/n，m/n为最简分数

由于1<√2<2，所以0<(√2-1)<1
因此m>(√2-1)m=2n-m∈N ; n>(√2-1)n=m-n∈N

所以，√2的最简分数形式也许为[(√2-1)m]/[(√2-1)n]，但肯定不是m/n，这与假设矛盾。故√2是无理数。

Answer 2

反证法:设根号2为有理数,则它可化为两个整数相除的形式.分母为整数,假设分母不含因子根号2，则分子必定含有因子根号2,又分子为整数,则分子中根号2的个数必定为偶.既然分子中根号2个数为偶,则它与分母相除就得不到根号2,这就产生了矛盾。

Answer 3

有理数的性质是它可以化成一个分数m/n的形式，且m,n互质．
设根2=m/n 则2=m^2/n^2
所以m^2为2的倍数，所以m为偶数．设m=2k,代入原式，所以n^2=2k^2,则n又为的倍数．
而这与m,n互质矛盾，所以不存在这样的m,n.
所以根2为无理数．

Answer 4

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
√2=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q
为最简分数,即最简分数形式。
把
√2=p/q
两边平方
得
2=(p^2)/(q^2)
即
2(q^2)=p^2
由于2q^2是偶数，p
必定为偶数，设p=2m
由
2(q^2)=4(m^2)
得
q^2=2m^2
同理q必然也为偶数，设q=2n
既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是最简分数矛盾。这个矛盾是由假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。

Answer 5

反证法
假设√2是有理数，则√2＝m/n(m,n是互质的整数)
所以m^2=2n^2,
2n^2是偶数，所以m^2是偶数，所以m=2k（k∈Z）,
所以4k^2=2n^2,2k^2=n^2,所以n也是偶数。
这与m,n互质矛盾
所以假设不成立
得证。