高数题，急！！

Question

1.判断曲线y=lnx的凹凸性_____________。

2.x趋于无穷，求lim lnx/xn(n指的是x的n次方)=___________.

3.f[(x+3)/(x^2)-5x+6]dx=_____________.
f指的是微积分的那个符号，打不出来

Answer 1

1）因为(lnx)''=(1/x)'=-1/x^2<0，所以曲线y=lnx是凸的。

2）因为lnx< < （远小于）x^n 当x充分大的时候，所以lim lnx/xn(n指的是x的n次方)=0.

3）积分[(x+3)/(x^2)-5x+6]dx
= 积分[(x+3) / (x-2)(x-3)]dx
= 积分[6/(x-3) - 5/(x-2)]dx
= 积分[6/(x-3)]dx - 积分[5/(x-2)]dx
= 6ln(x-3) - 5ln(x-2) + C
= ln((x-3)^6/(x-2)^5)+ C

其中(x+3) / (x-2)(x-3)
= 6/(x-3) - 5/(x-2)
是使用的待定系数法。

Answer 2

第一题：
答案：凸
因为在函数y=ln x的定义域(0,正无穷大)内, y两撇<0, 所以曲线y=ln x是凸的。

Answer 3

第一道：求两次导，y''=-1/x^2<0

第二道：用罗比达法则（因为上下都趋向正无穷，那么上下都求次导，后面应该很明白了）

第三道：拆开算：(x+3)/(x^2)-5x+6
=1/x+3/x^2-5x+6
分开积分，再加起来就好了

Answer 4

1
y''=-1/x²<0
曲线y=lnx是凸的
2
x→∞,limlnx/x^n=lim1/nx^n=0
3
∫[(x+3)]/[(x²)-5x+6]dx=∫[6/(x-3) - 5/(x-2)]dx
= 6ln│x-3│ - 5ln│x-2│ + C
=ln[│x-3│^6/ │x-2│^5] + C