设函数f(x)=lnx-px+1(1)求函数f(x)的极值点;(2)若对任意的x...

Question

设函数f(x)=lnx-px+1 (1)求函数f(x)的极值点; (2)若对任意的x＞0，恒有f(x)≤0，求p的取值范围; (3)证明:ln2222+ln3232+A+lnn2n2＜2n2-n-12(n+1)(n∈N*，n≥2)

Answer 1

解答:解:(1)∵f(x)=lnx-px+1，∴f(x)的定义域为(0，+∞)，
f′(x)=
1
x
-p=
1-px
x
当p≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，+∞)上无极值点，
当p＞0时，令f′(x)=0，∴x=
1
p
∈(0，+∞)，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表:
x
(0，
1
p
)
1
p
(
1
p
，+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
递增
极大值
递减
从上表可以看出:当p＞0时，f(x)有唯一的极大值点x=
1
p
，
(2)当p＞0时，在x=
1
p
处取得极大值f(
1
p
)=ln
1
p
，此极大值也是最大值，
要使f(x)≤0恒成立，只需f(
1
p
)=ln
1
p
≤0;
∴p≥1，∴p的取值范围为[1，+∞)
(3)令p=1，由(2)知，lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1，
∵n∈N，n≥2，
∴lnn2≤n2-1，
∴
lnn2
n2
≤
n2-1
n2
=1-
1
n2
，
∴
ln22
2
+
ln32
32
+…+
lnn2
n2
≤(1-
1
22
)+(1-
1
32
)+…+(1-
1
n2
)
=(n-1)-(
1
22
+
1
32
+
1
42
+…+
1
n2
)
＜(n-1)-(
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
)
=(n-1)-(
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1
)
=(n-1)-(
1
2
-
1
n+1
)
=
2n2-n-1
2(n+1)
即证;