口袋中有a个白球,b个黑球和n个红球,现从中一个一个不返回地取球,问白球比黑球出现的早的概率是多少?

Question

不要什么归纳法!
讲明理由,思路!
正确答案肯定是要有数学归纳法证明出的! 并且还要有简单,明了的思路! 这才能成为最佳答案!
所谓最佳答案,当然是要给后来人看的了!
其它巧妙回答也对,但是数学归纳法是最有力的说明!

Answer 1

在只有黑球和白球的时候
白球比黑球先出现的概率是a/(a+b)
即第一个球就是白球

在有n个红球的时候 无论什么时候摸到红球都不影响结果

可以把这些球看成两部分
1 红球n个
2 白加黑a+b个
若是摸到1部分 红球 不影响结果
若是摸到2部分
则有a/(a+b)的概率白球比黑球先出现
b/(a+b)的概率黑球比白球先出现

现从中一个一个不返回地取球 摸到第二部分的概率是1

所以白球比黑球先出现的概率是a/(a+b)

另外用数学归纳法也可以证明此结论
设概率为Pn

n=1时
分两种情况：
1 先取到红球 则剩下a个白球b个黑球 则白球比黑球先出现概率为
(1/(a+b+1))*(a/(a+b))
2 先取到白球 则概率为 a/(a+b+1)

总概率为(1/(a+b+1))*(a/(a+b))+a/(a+b+1)=a/(a+b)
即P1=a/(a+b)
假设n=k时
概率为 Pk=a/(a+b)

则：
n=k+1时
分两种情况
1、先取到红球 剩下k个红球和a个白球b个黑球 和n=k情况相同 则白球比黑球先出现概率为 ((k+1)/(a+b+k+1)))*Pk
2、 先取到白球 概率为(a/(a+b+k+1))
概率为((k+1)/(a+b+k+1)))*Pk+(a/(a+b+k+1))
=((k+1)/(a+b+k+1))*(a/(a+b))+(a/(a+b+k+1)))
=a/(a+b)
即p(k+1)=a/(a+b)
成立

故对一切n
Pn=a/(a+b)成立
即白球比黑球先出现的概率为a/(a+b)

Answer 2

答案真是五花八门精彩纷呈，仁者见仁智者见智啊！
我翻来覆去，左思右想，想了一个另类的方法，供大家讨论。

一共a个白球,b个黑球和n个红球。现在分别记第一个白球比第一个黑球先/后出现的概率为P1和P2，易知，P1+P2=1 ... （*）
我的思路是通过算出P1和P2之比，再由（*）式，即可求出P1！

先从表达式入手：
对于P1，可以将所有白球先于黑球出现的事件做如下划分：
0）先依次摸到0个红球和1个白球
1）先依次摸到1个红球和1个白球
...
n）先依次摸到n个红球和1个白球
上述所列包含了所有白球先于黑球出现的事件。下面列出他们出现概率的表达式：
0）a/(a+b+n)
1）[n/(a+b+n)]*[a/(a+b+n-1)]
...
n）[n/(a+b+n)]*[(n-1)/(a+b+n-1)]*[(n-2)/(a+b+n-2)]*...
*[1/(a+b+1)]*[a/(a+b)]

下面并不是将他们相加算出P1！而是依照上面的分发，将P2也做相同划分！
参考上面的，黑球先于白球出现的事件也可分成n类（分类完全相同，这里就不写了），下面也将他们的概率表达式写下来。
0）b/(a+b+n)
1）[n/(a+b+n)]*[b/(a+b+n-1)]
...
n）[n/(a+b+n)]*[(n-1)/(a+b+n-1)]*[(n-2)/(a+b+n-2)]*...
*[1/(a+b+1)]*[b/(a+b)]
大家可以看到，每类划分中除了最后一个乘法项的分子由a变为b，其他均不变！
由于将这n个划分相加就可得到P1和P2，而且同一个划分（白先于黑事件的划分i和黑先于白事件的同一划分i）概率之比都是a/b
所以P1/P2=a/b，又由（*）式的P1+P2=1 ，可得P1=a/(a+b)

PS:无论楼主选谁作为最佳答案，我只是想说，本人的方法可以说只能作为一个另类思路，并未直接求解P1（因为直接求解P1比较烦而且好多人人都答过了``），不过如果楼主想加强排列组合的基本功的话，还是请仔细研究下其他高人的答案吧。。

参考资料：`v`

Answer 3

思路如下：把红球按a:b的比例分成黑白两种球。
那现在这三种球可以看作两种球，白球个数为a+n*a/(a+b),黑球个数为b+n*b/(a+b)
那白球先出现的概率为白球除以所有球。
即：[a+n*a/(a+b)]/(a+b+n)
也可以理解白球第一个出现的概率为：a/(a+b+n),红球先出现，再出白球的概率为[n*a/(a+b)]/(a+b+n)

同理：
那黑球先出现的概率为黑球除以所有球。
即：[b+n*b/(a+b)]/(a+b+n)
这两种概率相加等于1.

[a+n*a/(a+b)]/(a+b+n) 的这个概率也是等于a/(a+b)
可以证明[a+n*a/(a+b)]/(a+b+n) -a/(a+b)=0
证明比较简单。
所以概率为a/(a+b)

Answer 4

正确答案为什么一定要用数学归纳法证明呢？不知你看没看我贴上去的图片（是详细解题步骤），思路简单明了，解题技巧也很好啊。 

请看附图

Answer 5

从题中可以看出以下几点：

1。白球比黑球先出现的概率+黑球比白球先出现的概率=1

2。这个概率和红球无关，所以答案不含n

题目简化为，a个白球，b个黑球，第一个拿到白球的概率是多少？

答案很简单: a/(a+b)