求两道极限 证明 越详细越好

Question

lim (x^2-1)=3
x→-2

lim x^3=8
x→2
我要证明 不是带入计算 计算我自己也会啊。。。 特别是δ的取值 怎么去 为什么去这个值 还有带入后全部的计算过程 正确的肯定加分 第二题上面 取δ<1 还是看不懂 为什么取这个值 有什么根据么 麻烦再解释的清楚一点

Answer 1

1.|f(x)-3|=|x^2-1-3|=|x^2-4|=|(x+2)(x-2)|
|x+2|<δ,x+2<δ,x<δ-2,x-2<δ-4,故|(x+2)(x-2)|<=|δ(δ-4)|=|δ||(δ-4)|
取δ'=max{δ,(δ-4)},
|δ||(δ-4)|<=(δ')^2
故对给定的ε>0，只要取δ'=根号ε，则当0<|x-（-2）|<δ时有|(x^2-1)-3|<ε.
这就证明了lim (x^2-1)=3
x→-2
2..|f(x)-8|=|x^3-8|=|（x-2）（x^2+2x+4）|=|x-2||x^2+2x+4|=|x-2||(x+1)^2+3|
|x-2|<δ,x-2<δ,取δ<1,x<3,(x+1)^2+3<19,
于是|x-2||(x+1)^2+3|<19|x-2|,
故对给定的ε>0，同样只需要取δ=ε/19，则当0<|x-2|<δ时有|x^3-8|<ε.
这就证明了lim x^3=8
x→2

Answer 2

数学家们总是喜欢故弄玄虚，把极限说得神乎其神，喋喋不休地强调，极限就是无限接近但不相等，致使中外无数学子在极限的泥潭中不能自拔。
事实上，它就是相等，不信的话，你把 x→-2 换成 x=-2，把 x→2 换成 x=2，分别带到括号中的式子中，计算结果就是等号右边的那个结果了。
这就是证明过程。

Answer 3

一楼的说法完全错误，简直是无知。极限分数列极限和函数极限，这里就说函数极限。如果函数在某点的邻域内连续，则在该点的极限值等于该点的函数值，如果不连续，只能说该点的极限值无限趋近于函数值。不懂别装懂，数学家都不如你啊，你以为你是谁啊！