已知两个正实数x,y满足x+y=4,则使1/x+4/y大于等于m恒成立的实数m的取值范围中

Question

已知两个正变量x,y满足x+y=4,则使不等式1/x + 4/y大于等于m恒成立的实数m的取值范围是多少?
但答案是（负无穷，9/4]

Answer 1

x+y=4得y=4-x
1/x+4/y=1/x+4/(4-x)
设f(x)=1/x+4/(4-x)
求导
f'(x)=(1/x)'+[4/(4-x)]'
=-1/x²+(-1)•[-4/(4-x)²]
=4/(4-x)²-1/x²
=[4x²-(4-x)²]/x²(4-x)²
=[2x+(4-x)][2x-(4-x)]/x²(4-x)²
=(x+4)(3x-4)/x²(4-x)²
当x∈(0,4/3)时,f'(x)＜0
当x∈[4/3,4)时,f'(x)＞0
f(4/3)=1/(4/3)+4/(4-4/3)=9/4
f(x)在x=4/3时有最小值9/4
m的取值范围是m∈(-∞,9/4]
OK啦~这下绝对没问题