用拉格朗日乘数法做，在第一卦限内作椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1的切平面

Question

用拉格朗日乘数法做，在第一卦限内作椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1的切平面,使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小,求切点坐标

Answer 1

答案：设F（x，y，Z）=X^2/a/2+yA2/bA2+zA2/cA2-1

Fx=2x/a^2，Fy=2y/b^2，Fz=2z/c^2，假设椭圆面上的任意一点坐标为（xO，y0，z0），则

×0^2/a^2+y0^2/b^2+Z0^2/c^2=1------（1）

该椭圆面的切平面方程应为：

（2×0/a2）*（x-×0）+（2y0/bA2）*（y-y0）+（2z0/CA2）*（z-z0）=0，由（1），可将上式化为：xx0/a/2+yy0/b42+ZZ0/c^2=1-------（2）

切平面在三个坐标轴上的截距分别为：x=a^2/x0，y=bA2/y0，z=c^2/z0.

故四面体的体积为：V=1/6*xllyIzl=（abc）^2/（6x0y0z0）.

最后就是求×Oy0z0的最大值问题了：由（1）可得：（bcx0）^2+（acy0）^2+（abz0）^2=（abc）^2由均值不等式可得：

3*（abc）^4*（x0y0z0）^2）^（1/3）≤（bcx0）^2+（acy0）^2+（abz0）^2=（abc）A2即x0y0z0≤（V3/9）labcl，当且仅当×0=lal/V3，y0=|bl/V3，z0=lcl/V3时，等号成立.

则Vmin=（V3/2）labcl

扩展资料：

在数学最优问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。

这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。 此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。

参考资料：百度百科-拉格朗日乘法

Answer 2

首先建立数学模型：

其次拉格朗日乘子法求解：