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Question

已知平行四边形ABCD,AD=a,AB=b,∠ABC=α。点F为线段BC上的一点,连接AF、AC,连接DF,并延长DF交AB的延长线于点E，连接CE.
1.当F为BC的中点时，求证：△EFC与△ABF面积相等
2.当F不是BC的中点时，△EFC与△ABF面积还相等吗？说明理由

Answer 1

1.当F为BC的中点时，求证：△EFC与△ABF面积相等
当F为BC中点时，BF=CF
根据三角形的面积公式S=(1/2)ah（a为底边，h为高）可以知道：
S△ABF=S△DCF（因为它们的底BF=CF，高分别是A、D到BC的距离，而ABCD为平行四边形，所以高肯定相等）
又，CD//BE
所以，∠BEF=∠CDF（内错角）
而，∠BFE=∠CFD （对顶角）
且，BF=CF
所以，△BEF≌△CDF（AAS）
所以，EF=DF
所以，S△CEF=S△CDF（同上，它们的底边EF=DF，高都是点C到DE的距离）
所以，S△CEF=S△CDF=S△ABF

2.当F不是BC的中点时，△EFC与△ABF面积还相等吗？说明理由
如下图
当F不是BC中点时，令BF/FC=m/n
因为BC=AD=a，所以：BF=ma/(m+n)、CF=na/(m+n)
所以，由正弦定理得到：S△ABF=(1/2)AB*BF*sinα
=(1/2)*b*[ma/(m+n)]*sinα=(1/2)absinα*[m/(m+n)]………（1）
又因为BE//CD
所以，△BEF∽△CDF
所以，EF/FD=BF/FC=m/n
那么，S△EFC/S△DFC=m/n（同上，它们的高相等，都是点C到DE的距离，那么它们面积之比就等于底边长之比）
所以，S△EFC=[m/(m+n)]△DEC………………………………（2）
而，S△DEC=S△DAC（同上，它们同底、等高）
而，由正弦定理有：S△DAC=(1/2)AD*CD*sinα=(1/2)absinα
代入到(2)，就有：
S△EFC=[m/(m+n)]*(1/2)absinα
对照(1)，就有：
S△ABF=S△EFC

Answer 2

已经条件够不够啊

Answer 3

不知道怎么弄图，手写吧。三角形ADE中，BF和AD平行且BF是AB一半，所以B是AE中点，所以AB等于BE，随便做辅助线就可以知道A和E到BC先得距离相等，三角形面积是底乘以高除以二，三角形ABF和EFC得底（BF,FC）和高（A和E到BC距离）都相等，所以面积相等。F不是中点时，底和高都不相等，所以面积不相等。 文字表达就是这样，你自己整理成证明吧。

Answer 4

1、做EG//BC,延长DC交EG于P.得∠ABC=∠BEP、∠BCD=∠EPC、∠CDA=∠PCB、∠DAB=∠CBE,BC=BC.所以平行四边形ABCD与平行四边形BEPC全等，所以BE=BA,所以CF的高与BF的高相等。又因为F是BC中点，所以BF=FC.所以△EFC=△ABF;.
2、当F不是BC的中点时，BF≠FC.又因为BF与FC的高相等，所以△EFC与△ABF的面积一定不相等。