匀加速运动 公式证明 s2-s1=s3-s2=...=Sn-Sn-1=at^2

Question

请用2种方法证明

还有证明下为什么S4-S1=S5-S2=...=3at^2

Answer 1

设初速度为Vo，Sn（n=1,2,3,...n..）代表第n个t秒内的位移.
证明如下：
方法一：
设Ln（n=1,2,3,...,n,..）表示前n个t秒内的位移
L1=Vot+（1/2）at^2=Vo*1*t+(1/2）a*1^2*t^2
L2=Vo2t+（1/2）a(2t)^2=Vo*2*t(1/2）a*2^2*t^2
L3=Vo3t+（1/2）a(3t)^2=Vo*3*t(1/2）a*3^2*t^2
...
Ln-2=Vo*(n-2)*t+(1/2）a(n-2)^2t^2
Ln-1=Vo*(n-1)*t+(1/2）a(n-1)^2t^2
Ln=Vo*(n)*t+(1/2）a(n)^2t^2
...
则
Sn-1=Ln-1-Ln-2
=Vot+(1/2）a[(n-1)^2-(n-2)^2]t^2
=Vot+((1/2）a[(n-1+n-2)(n-1-n+2)]t^2=
=Vot+((1/2）a(2n-3)t^2
Sn=Ln-Ln-1
=Vot+((1/2）a[n^2-(n-1)^2]t^2
=Vot+((1/2）a[(n+n-1)(n-n+1)]t^2=
=Vot+((1/2）a(2n-1)t^2

Sn-Sn-1=(1/2）at^2[(2n-1)-(2n-3)]=at^2

所以（n>=2时）有：
S2-S1=S3-S2=...=Sn-Sn-1=...=at^2

Sn-Sn-1=at^2
Sn-1-Sn-2=at^2
Sn-2-Sn-3=at^2

相加得
Sn-Sn-3=3at^2
代入n=4,5,6,...
S4-S1=S5-S2=...=3at^2

方法二：
设连续相等的时间间隔t秒末速度为Vn(n=1,2,3,..)
V1^2=(Vo+at)^2
V2^2=(Vo+a2t)^2
V3^2=(Vo+a3t)^2
...
Vn-2^2=[Vo+a(n-2)t)]^2
Vn-1^2=[Vo+a(n-1)t)]^2
Vn^2=[Vo+a(n)t)]^2

由S=(Vt^2-Vo^2)/2a得
Sn=(Vn^2-Vn-1^2)/2a=[2Vo+(2n-1)at]t/2
Sn-1=[2Vo+(2n-3)at]t/2

Sn-Sn-1=at^2
........后同上

上述结论对匀加速匀减速都成立！