存在一实数ξ∈(1, 1+x),则
f'(ξ)＝1/ξ.
依拉格朗日中值定理得
f(1+x)-f(1)＝f'(ξ)·[(1+x)-1]
→f'(ξ)＝1/ξ＝[ln(1+x)-ln1]/x.
∴ξ＝x/ln(1+x).
∴1<x/ln(1+x)<1+x
→1/(1+x)<[ln(1+x)]/x<1
→x/(1+x)<ln(1+x)<x (其中x>0)
故原不等式得证。
证明不等式x\/(1+x)<ln(1+x)<x.(x>0)
设f(x)=ln(1+x) (x>0)取区间【1，1+x】,显然f(x)在【1，1+x】上连续，在（1，1+x）上可导。中间点可选θx,(0<θ<1).由拉格朗日中值定理得：f(1+x)-f(1)=f '(θx)(1+x-1)即：ln(1+x)=x\/(1+θx)又：x\/(1+x)＜x\/(1+θx)<x 即得证：x\/(1+x)<ln(...
如何用中值定理证明x\/(1+x)<ln(1+x)<x,x>0?
不等式两边同除以x，因为x大于0，不等号方向不变；即 1\/(1+x)<ln(1+x)\/x<1;又ln1=0;观察中间发现，这个刚好是拉格朗日中值定理的形式 即存在c∈(1,1+x),使得 ln(1+x)\/x=【ln(1+x)-ln1】\/x=1\/c;因为c∈(1,1+x)；所以1\/(1+x)<1\/c<1得证。
证明不等式x\/(1+x)<In(1+x)<x,x>0
ln(1+x)\/x=(1+x)\/e^x=(1+x)\/(1+x+x^2\/2+x^3\/6+...)<1 则ln(1+x)<x, 在x=0时x\/(1+x)=ln(1+x)=0; 当x>0时 ，[1\/(1+x)]'\/[ln(1+x)]'=1\/[(1+x)^2]\/[1\/(1+x)]=1\/(1+x)<1 则在x>0时，x\/(1+x)的增速小于ln(1+x)，在x=0相等 ...
利用拉格朗日中值定理证明不等式1\/1+x<ln(1+1\/x)<1\/x,(x>0)
做辅助函数F(t)=ln(1+t),则F在[0,x]上连续且可导.由拉格朗日中值定理得 F(x)-F(0)=F'(α)(x-0)（0<α<x）,即有ln(1+x)=x\/(1+α).由于0<α<x,故1\/(1+x)<1\/(1+α)<1,从而x\/(1+x)<ln(1+x)<x 令x=1\/x即得1\/1+x<ln(1+1\/x)<1\/x ...
用中值定理证明下列不等式。
1+t)，(t>=0)显然，对∀x>0，f(t)在[0,x]内连续，在(0,x)上可导，则根据拉格朗日中值定理，存在k∈(0,x)，使 f'(k)=[f(x)-f(0)]\/(x-0)1\/(1+k)=ln(1+x)\/x ln(1+x)=x\/(1+k)因为x\/(1+x)<x\/(1+k)<x\/(1+0)=x 所以x\/(1+x)<ln(1+x)<x ...
证明当x>0时,不等式 x\/(1+x)<ln(1+x)<x成立
设f(x)=ln(1+x)则f'(x)=1\/(1+x)在[0,x]上应用拉格朗日中值定理 存在ξ∈(0,x)使得 ln(1+x)-ln(1+0)=f'(ξ)(x-0)即 ln(1+x)=f'(ξ)·x 由于0＜ξ＜x 所以1\/(1+x)＜f'(ξ)＜1\/x
诚心请问:如何用中值定理证明这个不等式:当x>0时,x\/(1+x)
令f(x)=ln(x+1),g(x)=x,注意到f(0)=0,g(0)=0,则对任意x>0有 ln(x+1)\/x=[f(x)-f(0)]\/[g(x)-g(0)]=f'(s)\/g'(s)=1\/(1+s),0
一道简单微积分题,请指教 设x>-1 证明不等式 x\/(1+x)≤ln(1+x)≤x...
设f(x)=ln(1+x),f'(x)=1\/(1+x)由Langrange中值定理,f(x)在[0,x]上连续 f(x)-f(0)=xf'(t)=x\/(1+t),注意到0
利用拉格朗日中值定理证明不等式
证明：令f(y)=ln(y), （y>0), 当1<y<x+1,(x>0)有 f(1+x)-f(1)=xf'(ξ) (1<ξ<x+1) 即 ln(1+x)=x\/ξ 由于 1<ξ<x+1，故 x\/(1＋x)＜ln(1＋x)＜x
证明下列不等式:设x>0,证明:1n(1+x)<x.
【答案】：方法一利用中值定理的证明．设f(x)=ln(1+x)，对f(x)在[0，x]上应用拉格朗日中值定理得 由于x＞o，所以，从而ln(1+x)＜x．方法二用单调性证明，设f(x)=ln(1+x)-x，则 ∴f(x)在(0，x)内单调减少，又f(0)=ln(1+0)-0=0，故f(x)＜0，即ln(1+x)＜x．
