已知圆C:x²＋y²－2x＋4y-4＝0

Question

是否存在实数b，使直线m:y=x+b被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆经过原点O？若存在，求出b的值;若不存在，说明理由

Answer 1

将y=x+b代入x²+y²-2x+4y-4=0得：
x²+(x+b)²-2x+4(x+b)-4=0
2x²+2(b+1)x+b²+4b-4=0
x1+x2=-(b+1)
x1x2=(b²+4b-4)/2
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2 = (b+1)²-2(b²+4b-4) = -b²-6b+9
y1+y2=(x1+b)+(x2+b) = (x1+x2)+2b = -b-1+2b = b-1
(y1-y2)² = {(x1+b)-(x2+b)}² = (x1-x2)² = -b²-6b+9
AB=√{(x1-x2)²+(y1-y2)²｝ = √{-2b²-12b+18}
令AB中点为M，
xM=(x1+x2)/2 = -(b+1)/2
yM=(y1+y2)/2=(b-1)/2
M为以AB为直径的圆的圆心，该圆过坐标原点O（0，0）

∴xM²+yM²=(AB/2)²
(b+1)/2}² + (b-1)/2}² = ｛√(-2b²-12b+18)/2}²
4b²+12b-16 = 0
b²+3b-4=0
(b-1)(b+4) = 0
b=1，或-4

Answer 2

令A(x1,y1),B(x2,y2)
若存在直线L使得弦AB为经过原点的圆M的直径
则圆M的圆心坐标为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
圆M的半径为AB/2
于是得到圆M的方程为[x-(x1+x2)/2]^2+[y-(y1+y2)/2]^2=(AB/2)^2
因圆M过原点(0,0)
则有[(x1+x2)/2]^2+[(y1+y2)/2]^2=(AB/2)^2
即有(x1+x2)^2+(y1+y2)^2=AB^2（*）
令直线L方程为y=x+b（注意到k=1）
代入圆C方程有2x^2+2(b+1)x+b^2+4b-4=0
由韦达定理有
x1+x2=-(b+1)（I）
x1x2=(b^2+4b-4)/2
由弦长公式有
AB=|x1-x2|*√(1+k^2)（注意到k=1）
=√2*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√2*√(-b^2-6b+9)（II）
因A、B都在直线L上,则有
y1=x1+b
y2=x2+b
两式相加得y1+y2=x1+x2+2b=b-1（III）
将（I）（II）（III）代入（*）得
b^2+3b-4=0
解得b=-4或b=1
综上可知,满足条件的直线L有两条：
y=x-4
y=x+1

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