定积分的应用：星形线x=acos^3t,y=asin^3t的全长为？

Question

请写一下详细步骤，谢谢了。

Answer 1

只要计算第一象限部分的长度,再乘以4即可
首先,弧微分
ds＝√[(dx)^2＋(dy)^2]
＝√[(x')^2＋(y')^2]dt
＝3a|sintcost|dt, x'、y'表示求导
其次,弧长
s＝4∫(0,π/2) 3a|sintcost|dt
＝12a∫(0,π/2) sintcostdt
＝6a