给定椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），称圆x2+y2=a2+b2为椭...

Question

给定椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），称圆x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的短轴长为2，离心率为63． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“伴随圆”交于C，D两点，当|CD|=13时，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得，e2=c2a2=1-b2a2=23，
又∵b=1，∴a2=3，
∴椭圆C的方程为x23+y2=1，
（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x2+y2=4，
①当CD⊥x轴时，由|CD|=13，得|AB|=3．
②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=13，得圆心O到CD的距离为32．
设直线CD的方程为y=kx+m，则由|m|1+k2=32，得m2=34（k2+1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+mx23+y2=1，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0．
∴x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3m2-33k2+1．
当k≠0时，|AB|2=（1+k2）（x1-x2）2，
=（1+k2）[(-6km3k2+1)2-12(m2-1)3k2+1]，
=3(1+k2)(9k2+1)(3k2+1)2，
=3+12k29k4+6k2+1，
=3+129k2+1k2+6，
≤3+122×3+6=4，
当且仅当9k2=1k2，即k=±33时等号成立，此时|AB|=2．
当k=0时，|AB|=3，综上所述：|AB|max=2，
此时△AOB的面积取最大值S=|AB|max×32=32．