递推公式，数学

Question

1.若A1=2m，An=2÷An-1,则A2=？ A3=? A4? A5? A1989×A1990?
2.N为正整数，有递推公式An+1=An-3, 试用A1,N表示第n项An
3.n名象棋选手进行单循环比赛（每人对其他各人各赛一场）试用递推公式表示比赛的场数。
4.平面内n条的直线两两相交，最多有几个交点？试用递推公式表示
需要完整过程，因为要上交。谢谢、

Answer 1

如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

如果一个数列的第n项an与该数列的其他一项或多项之间存在对应关系的，这个关系就称为该数列的递推公式。例如斐波纳契数列的递推公式为an=an-1+an-2。

等差数列递推公式：an=d(n-1)+a（d为公差 a为首项）。

等比数列递推公式：bn=q(n-1)*b （q为公比 b为首项）。

由递推公式写出数列的方法：

1、根据递推公式写出数列的前几项，依次代入计算即可。

2、若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式。

扩展资料：

亦称递归列。由前面的项能推出后面的项的数列。指对所有n>p，满足形如an=f(an-1，an-2，…，an-p)的关系式的序列{an}，其中f为某个函数。p是某个固定的正整数，a1，a2，…，ap为已知数。

p称为这个递推列的阶数.上述关系式称为递推公式，给定a1，a2，…，ap，可以从它得到所有an。形如an+c1an-1+c2an-2+…+cpan-p=0(c1，c2，…，cp是常数)的递推公式称为线性递推公式，相应的序列称为线性递推列。

最简单的递推列是一阶递推列，即满足an=f(an-1)的序列{an}.它又称迭代列。等差数列与等比数列都是线性的迭代列。

参考资料 百度百科-递推公式

Answer 2

公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。

类型一

归纳—猜想—证明

由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明。

类型二

“逐差法”和“积商法”

1、当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：

a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)；

且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”。

2、当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即

a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”。

扩展资料

类型三

构造法

递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解。

类型四

可转化为类型三求通项

1、“对数法”转化为类型三。

递推式为an+1=qank(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，两边取常用对数，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，则有bn+1=kbn+lgq，转化为类型三。

2、“倒数法”转化为类型三。

递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)。

若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因为an≠0，所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,则bn+1=(c/p)bn+q/p，转化为类型三。

若b≠0，设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，转化为b=0的情况。

Answer 3

Answer 4

1.
An=2÷A(n-1)
A2=2÷A1=1/m
A3=2÷A2=2m
A4=2÷A3=1/m
A5=2÷A4=2m

An=2÷A(n-1)
An-√2=2/A(n-1)-√2
=√2[√2-A(n-1)]/A(n-1)
An-√2=√2[√2-A(n-1)]/A(n-1)
An+√2=√2[√2+A(n-1)]/A(n-1)
两式相除：
(An-√2)/(An+√2)=[√2-A(n-1)]/[√2+A(n-1)]
=(-1)[A(n-1)-√2]/[√2+A(n-1)]
=(-1)^2*[A(n-2)-√2]/[√2+A(n-2)]
……
=(-1)^(n-1)*[A1-√2]/[√2+A1]
=(-1)^(n-1)*[2m-√2]/[√2+2m]

(An-√2)/(An+√2)=(-1)^(n-1)*(√2m-1)/(√2m+1)
An-√2=(-1)^(n-1)*[(√2m-1)/(√2m+1)](An+√2)
=(-1)^(n-1)*[(√2m-1)/(√2m+1)]An+(-1)^(n-1)*[(√2m-1)/(√2m+1)]√2

{1-(-1)^(n-1)*[(√2m-1)/(√2m+1)]}An=(-1)^(n-1)*[(√2m-1)/(√2m+1)]√2+√2

[(√2m+1)-(-1)^(n-1)*(√2m-1)]An=(-1)^(n-1)*(√2m-1)√2+√2(√2m+1)
An=[(-1)^(n-1)*(√2m-1)√2+√2(√2m+1)]/[(√2m+1)-(-1)^(n-1)*(√2m-1)]

A1989=[(-1)^1988*(√2m-1)√2+√2(√2m+1)]/[(√2m+1)-(-1)^1988*(√2m-1)]
=[(√2m-1)√2+√2(√2m+1)]/[(√2m+1)-(√2m-1)]
=4m/[(√2m+1)-(√2m-1)]
=2m

A1990=[(-1)^1989*(√2m-1)√2+√2(√2m+1)]/[(√2m+1)-(-1)^1989*(√2m-1)]
=[-(√2m-1)√2+√2(√2m+1)]/[(√2m+1)+(√2m-1)]
=2√2/[(√2m+1)+(√2m-1)]
=1/m

A1989×A1990=2m*(1/m)=2

Answer 5

A2=1/m;
A3=2m;
A4=1/m;
a5=2m;
A1989*A1990=2