设z=f(r) （r>0） r=√(x^2+y^2)

Question

设z=f(r) （r>0） r=√(x^2+y^2) ， ∂^2z/∂x^2+∂^2z/∂y^2-(1/x)∂z/∂x-z=x^2+y^2 ， 求f(r)

Answer 1

2021版李永乐复习全书（数二）高数第五章常微分方程章后练习，唯二没给过程的两道题：练习10、练习12解答整理如下：

练习10 设 z=f(r) （r>0） r=√(x^2+y^2) .........

P206 练习10

练习12 设曲线L位于平面xOy的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交 .........

P206 练习12

Answer 2

答案是c1e^r+c2e^(-r)-r^2-2

上面那人回答的是另一道类似的题目，把他的过程拿过来就好，得到的两个二阶导数和一阶导数代入会发现一阶导数被消去了，得
f(r)''-f(r)=r^2
特征方程λ^2-1=
λ1=1，λ2=-1
所以齐次方程的通解为c1e^r+c2e^(-r)
设非齐次方程特解为c1e^r+c2e^(-r)+ax^2+bx+c，代回原式计算可得a=-1, c=-2
所以非齐次方程通解是c1e^r+c2e^(-r)-r^2-2

Answer 3

∂u/∂x=(∂f/∂r)*(∂r/∂x)=f'*[x/√(x²+y²+z²)]；
∂u²/∂x²=∂{f'*[x/√(x²+y²+z²)]}/∂x=f"*[x/√(x²+y²+z²)]²+f'*∂{x/√(x²+y²+z²)]}/∂x
=f"*(x²/r²)+f'(y²+z²)/√(x²+y²+z²)³=f"(x²/r²)+f'(r²-x²)/r³；
同理 ∂²u/∂y²=f"(y²/r²)+f'(r²-y²)/r³；∂²u/∂z²=f"(z²/r²)+f'(r²-z²)/r³；
所以 ∂²u/∂x²+∂²u/∂y²+∂²u/∂z²=f"(x²+y²+z²)/r²+f'[(3r²-x²-y²-z²)r³]=f"+2f'/r

追问

你确定你做的是这个题？

Answer 4

虽然答主可能不需要了，万一还有新的同学想要交流下呢，传下我的做法吧...一个学渣做法可能有瑕疵