已知定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)=-f(x),当x∈[0,1}时

Question

，f(x)=1/2-x，若关于x的方程f(x)=m(x+1)在区间（-1,2]内有三个不相等的实数根，则实数的m的取值范围是

Answer 1

因为 当 x∈[0,1]时，f(x)=1/2-x,所以可以确定在 x∈[0,1]区间 函数的图像,并求出 f(0)=1/2,f(1)=-1/2

因为在定义R上 f(x)满足 f(1+x)=-f(x),所以有 f(2)=-f(1),f(3)=-f(2),f(0)=-f(-1),f(-1)=-f(-2)......

可以看出下一个数是上一个数的相反数，此函数是周期函数 

[f(1+x)=-f(x),f(2+x)=-f(1+x),f(2+x)=f(x)]周期为2，

所以就可以大致画出函数的图形，因为 一次函数 m(x+1)和 f(x)在定义域（-1,2]上有三个交点，

 函数 y=m(x+1) 过定点  （-1，0），设这点为 M(-1,0),所以过点M画直线，在定义域（-1,2]与

f(x)要有三个交点，当直线过 （M A）点时，此时恰好有两个交点，所以此时函数的图像应该以

M点为固定点再逆时针向上转，这样函数便可以与 f(x)有三个交点了，但一直上转也不行，当超过(M B)的时候函数的交点会再此变成2个，然后一个，最后在定义域（-1,2]上和f(x)再也没有交点，所以 函数的图像只有在 （MA到 MB)之间才满足条件，设 过M,A两点的直线方程为 L1,

过 M,B两点的直线方程为 L2, 因为 M(-1,0), A(-1,-1/2), B(2,1/2)  所以可以求出 L1,L2 的方程

L1: y= (-1/4)(x+1)          L2: y=(1/6)(x+1)     (因为斜率 k=tanθ,这里对θ的要求是从

θ1变化到θ2的，所以 m的取值为（-1/4,1/6],也就是在求出的 L1与 L2的斜率之间，但A点不能取相等，因为在A点时才恰好2个交点

追问

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