已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若x∈[-1，1]时

Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若x∈[-1，1]时，f（x）≥2mx恒成立，求实数m的取值集合．

Answer 1

解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），…..1 分
∵f（0）=3，
∴c=3，…．（2分）
又f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=2x-1，
∴a=1，b=-2，…．（2分）
故f（x）=x²-2x+3…．（1分）
（2）因为m∈[-1，1]时，不等式f（x）≥2mx恒成立，
即x²-2x+3-2mx≥0在x∈[-1，1]上恒成立．
令g（m）=-2mx+（x²-2x+3），
则由

g(?1)＝2m+6≥0 g(1)＝?2m+2≥0

得：m∈[-3，1]，
故实数m的取值范围为：[-3，1]