两道线代题几道恳请帮忙~

Question

1.
求此向量组的秩及一个极大线性无关组
α1=[2，1，3，-1]^T α2=[3，-1，2，0]^T α3=[1，3，4，-2]^T
α4=[4，-3，1，1]^T
2.
判断此向量组是否是P[x]4的基
α1=1+x, α2=x+x²，α3=1+x^3， α4=2+2x+x²+x^3
。

Answer 1

1. 楼上的答案没问题的。
2α1-α3=α2，3α1-2α3=α4，显然 α1，α3 线性无关，因此该向量组的秩就是2，一个极大线性无关组是 α1 和 α3.
一般的方法还是写成矩阵，然后用初等变换即可。

2.
因为次数低于4的多项式全体组成的线性空间(就是题中的P[x]4)的一组基为
1，x，x^2，x^3，而由α1=1+x, α2=x+x²，α3=1+x^3，α4=2+2x+x²+x^3 可知
(α1，α2，α3，α4)'=A*(1,x,x^2,x^3)'.
其中(α1,α2,α3,α4)'表示行向量(α1,α2,α3,α4)的转置，即为列向量。而矩阵
1 1 0 0
A= 0 1 1 0
1 0 0 1
2 2 1 1
因此要判断(α1,α2,α3,α4)是否是一组基，只需判断矩阵A是否可逆即可，亦即只需计算A的行列式 |A| 即可。楼主自己计算一下，这个行列式是0，即A不可逆，因此(α1,α2,α3,α4)不是P[x]4的一组基。

注：上面的是较为一般的方法，这类题目都可以这样做。但本题中，经过观察可知 α1+α2+α3 = α4. 即α4可用α1,α2,α3线性表出，所以α1,α2,α3，α4必不是一组基，因为基中线性无关向量的个数是4，这是本题中比较特别的一点，这样做较为简单。

Answer 2

α1 α3为一极大线性无关组，秩为2

不是基

无非是矩阵的初等变换
不会先看看书，再不会可以问老师，电脑怎么打矩阵