求函数f(x)=((x^2+x)sin1/x)/(x^2-1)的可去间断点。谢谢~求详解求过程~

Question

题目比较繁琐…注意函数方程！~
求详解求过程~
谢谢！

Answer 1

f(x) = {(x^2+x)sin1/x} / (x^2-1) = {x(x+1)sin1/x} / {(x+1)(x-1)} = {xsin1/x} / {x-1}
x≠0，x≠±1
间断点：-1，0，1
可去间断点：-1

追问

请问1.为什么可去间断点把间断点1和0都给排除了？2.答案是可去间断点为0和-1…麻烦大神给予详细解答！谢谢~

追答

是这样的，刚才你题目括号没有交代明白。
我刚才是按照sin(1/x)做的：
f(x) = {(x^2+x)sin(1/x)} / (x^2-1) = {x(x+1)sin(1/x)} / {(x+1)(x-1)} = {xsin(1/x)} / {x-1}
这样的话，x消不掉吧？

追问

您这种方法，我过程都能看懂……就是不明白为什么可去间断点不包括0和1？麻烦您详细写一下排除0和1的过程可以吗？？

追答

在本题中，∵分母不为零，所以x≠0，x²-1≠0
所以间断点有。-1，0，1
但是由于分子中包含x+1项，分母中也包含x+1项，所以x趋近-1-和x趋近-1+时极限相同，所以-1为可去除间断点。

至于x=0，也是分别求x趋近0-和x趋近0+的极限，如果相同，即为可去除间断点。但是本题中如果是f(x) = {(x^2+x)sin(1/x)} / (x^2-1) = {x(x+1)sin(1/x)} / {(x+1)(x-1)} = {xsin(1/x)} / {x-1}的话，x=0是去不掉的。

题目如果改一下，改成：
f(x) = {(x^2+x)(sin1)/x)} / (x^2-1) = {x(x+1)(sin1)/x} / {(x+1)(x-1)} = {sin1} / {x-1}的话，0就成了可去间断点了。