小学五年级数学问题

Question

人教版小学数学五年级（下）练习十五第5题：
5.在相应的（ ）里写出相邻阶梯上两个数的最大公因数。
我知道答案：（从下往上）
10和15：5 15和18：3 18和24：6 24和36：12 36和72：36
其实数学语言就是：（10、15）=5 （15、18）=3 （18、24）=6 （24、36）=12 （36、72）=36
大家有没有发现，15-10=5，也就是相邻两个数的差是它们的最大公因数！
这是为什么呢？？？？？（快点呀～急！！！！！！）
唉！老师要求写数学日记～人在学校，身不由己啊！

Answer 1

(10、15）分别是5的 2倍 3倍
(15、18）分别是3的 5倍 6倍
(18、24）分别是6的 3倍 4倍
(24、36）分别是12的 2倍 3倍
(36、72）分别是36的 1倍 2倍
如果两个数是最大公因数的相邻倍数，他们的差就是最大公因数。
反之，如果两个数不是最大公因数的相邻倍数，他们的差就不会是最大公因数，而是最大公因数的倍数。

Answer 2

同学你好，
首先，我想赞美一下你的细心，但是，还是得告诉你这只是巧合罢了。
其次，因数的定义：一整数被另一整数整除，后者即是前者的因数。 所有公因数中，最大的一个公因数就是最大公因数。所以，最大公因数和原来的这两个数只是倍数关系，无关乎加减运算的。例如（2，3）=1
（10,30）=10
（15,25）=5
详细解释一下（10，30）=10吧：首先10的因数有1,2，5，10
30的因数有1，2,3,5,6,10,15,30
所以他们的最大公约数为10
这一点用你的相减规律就行不通了吧^_^。。。

希望能或多或少的帮助你~~~

Answer 3

你写的都是特例
你写的两个数都是它们最大公因式的两个相邻的倍数
10 15 分别是5的 2倍 3倍
15 18 分别是3的 5倍 6倍
18 24 分别是6的 3倍 4倍
24 36 分别是12的 2倍 3倍
36 72 分别是36的 1倍 2倍
他们的差自然是最大公因数
但如果两个数不是最大公因数的相邻倍数 他们的差就不会是最大公因数 而是最大公因数的倍数

例如
10 45 分别是5的2倍 9倍 他们的差35是他们的最大公因数5的7倍

Answer 4

其实这是求最公因数的另一个方法（计算机机程序就是这样算的）
如果a>b,(a,b)那么求出a/b的余数假设是c,如果c=0，则表明b是最大公因数
则设a = kb + c 设他们的最大公因数是m
a = mk
b = mn
(k,n)互质
你会发现a - b的式子可以表现成m(k-n)
n k-n 一定互质
假充他们不互质，则一定存在p>1
使得n = pn1 k - n = pn2
所以k = pn2+pn1 = p(n2+n1)
但k与n是互质的，但现在你发现它们有公约数p>1
所以n k-n也一定是互质的
也就是(a,b) = (b,a-b)
所以(18,15) = (15,3)你发现3已经是最大公约数了

所以总结一下
如果a>b
令a = kb+m 当m = 0时，这说明b就是它们的最大公约数
如果m≠0
则(a,b) = (b,m)
推理如下：
设(b,m) = n
则b = nx m = ny 且(x,y) = 1
a = knx+ny=n(kx+y)
只要证明kx+y 与x互质就行了
假充他们不互质，则必有一数p>1使得
kx+y = pq1
x = pq2
y = pq1-kpq2 = p(q1 - kq2)
这说明x,y有其他公约数p>1
这与原来的(x,y) = 1 矛盾
所以始终有

如果a>b
令a = kb+m 当m = 0时，这说明b就是它们的最大公约数
如果m≠0
则(a,b) = (b,m)
如果m能整除b,则m就是最大公约数
如果不能
则(b,m) = (m,n) n是b除以m的余数
这样下去，总会出现除断的情况（就算在最坏的情况，也总会出现其中有一个数是1，这是两数互质时，会这样）
而差刚好是，应该是一种巧合（）

Answer 5

气老师的答案，这是老师故意选的数字。

一般答案：我们可以从公因数的原理来分析：
首先定义拥有相同因数的所有数字从大到小排列后的数列叫同因数列。如F(a，x)=ax，a为整数数列，x为因数。显然，在数列中任何相邻的两数最大公因数就是构成该数列的那个因数。

因此（10、15）=5 中 10=5*2 15=5*3 ，5是质数，而2和3是互质的，所以（10、15）的最大公因数是5，又因为2和3在整数数列中相邻，所以可以认为10和15在同因数列F（a，5）中相邻，即15-10=F（3，5）-F（2，5）=3*5-2*5=(3-2)*5=1*5，所以10和15的差值就等于同因数列中的因数，即它们的最大公因数。
同理可知其它数字。