若f(x)在［a,b］上可积 为什么∫a→xf(t)dt在［a,b］上未必可导若f(x)在［a,b

Question

若f(x)在［a,b］上可积 为什么∫a→xf(t)dt在［a,b］上未必可导若f(x)在［a,b若f(x)在［a,b］上可积 为什么∫a→xf(t)dt在［a,b］上未必可导若f(x)在［a,b］上可积 为什么∫a→xf(t)dt在［a,b］上未必可导 但在［a,b］上一定连续

Answer 1

例如f（x）=-1（x∈[-1，0]）；1（x∈（0，1]）
很明显，f（x）在区间[-1，,1]内只有1个跳跃间断点x=0，所以根据定积分的性质，f（x）在[-1，,1]可积。
而也很容易就能算出来∫-1→xf(t)dt=|x|-1

而|x|-1在x=0点是不可导的，虽然|x|-1在x=0点是连续的。

所以如果f（x）在［a,b］有跳跃间断点，那么∫a→xf(t)dt在这个跳跃间断点处不可导。但是在这个跳跃间断点处连续。其实就是∫a→xf(t)dt在跳跃间断点处的左右导数都存在，但是不相等。所以连续而不可导。

追问

f(x)在［a,b］上连续则变上限积分函数可导 怎么能求那个变上限积分函数的左右导数？

前面一句是书上的定理

一般变上限求导就是 ｜x｜－1 然后分左右x－1 和－x－1 这样吗

追答

f(x)在［a,b］上连续则变上限积分函数可导
这句话是没错啊。
但是书上也说了，f（x）在[a，b]区间上，有有限个第一类间断点，则f（x）在[a，b]区间上可积（即可以求定积分）

所以f(x)在［a,b］上连续的话，可以求f（x）在[a，b]区间上的变上限定积分，此变上限定积分的导数就是f（x）
但是f(x)在［a,b］上不连续，而是有一个跳跃间断点的话，也可以求f（x）在[a，b]区间上的变上限定积分，此变上限定积分在f（x）的间断点处连续，但不可导。

至于f（x）=-1（x∈[-1，0]）；1（x∈（0，1]）的时候
∫-1→xf(t)dt可以自己算一下，算出来确实就是当-1≤x≤0的时候，∫-1→xf(t)dt=-x-1
当0＜x≤1的时候，∫-1→xf(t)dt=x-1
所以∫-1→xf(t)dt就等于|x|-1
而|x|-1确实在x=0点处不可导。
这些都不是什么高深的理论推导论证。完全就是找个简单的例子硬算得到的结果。