设G是一个群，H，K是G的子群且H在G中的指数有限，求证:K∩H在K中的指数也有限

Answer 1

利用已知的条件[G:H]有限，证明[K:（K交H）]<=[G:H]：
令A=｛k（K交H）|k属于K｝，B=｛aH|a属于G｝，令f：k（K交H）—>kH，则f显然是A到B的映射，现证明f为单射：令k1H=k2H，则k1^（-1）k2属于H，所以k1^（-1）k2属于K交H，所以k2（K交H）=k1（k1^（-1）k2）（K交H）=k1（K交H），所以f是单射，所以|A|<=|B|，从而[K:（K交H）]<=[G:H]，所以[K：（K交H）]有限
还有大神给出直接做陪集分解的方法，
设K=k1（K交H）∪k2（K交H）∪…为K的左陪集分解
若k1H=k2H，则k1^（-1）k2属于K交H，所以k1=k2
所以若k1不等于k2则k1H与k2H交为空集
从而k1H、k2H、…均包含在G的左陪集分解式中，所以[K:（K交H)]<=[G:H]

Answer 2

后一种方法有问题：K1-1k2\inH交K，不能得到k1=k2