线性代数问题，求矩阵的对角阵时为什么要把特征向量单位化呢？

Question

请教高手，上面这道题虽然步骤很繁琐，但是思路并不复杂，就是先求特征值，再求对应的特征向量，然后把求出的特征向量正交化后依次列出来合并成所求的相似变换矩阵P。我不明白的是，求解过程中为什么要把对应特征值的每个特征向量单位化呢？

Answer 1

因为P是正交矩阵，正交矩阵每一行（或列）都是单位向量，题中A恰有3个不同的特征值，而不同特征值对应特征向量必正交，所以就不用正交化，而是直接单位化。

若λ0是A的特征值，且是特征多项式的k重根，因为A可对角化，所以特征方程│A-λ0│=0的基础解系必包含k个解向量，则这k这个特征向量必须施密特正交化然后再单位化。

有定理：矩阵A可对角化的充分必要条件是A的每个特征值的代数重数等于其几何重数，即A有完全特征向量系。

只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，或说若一个方阵除了主对角线上的元素外，其余元素都等于零。

扩展资料：

线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。

例如，三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。

矩阵的对角线有许多性质，如做转置运算时对角线元素不变、相似变换时对角线的和(称为矩阵的迹)不变等。在研究矩阵时，很多时候需要将矩阵的对角线上的元素提取出来形成一个列向量，而有时又需要用一个向量构造一个对角阵。

参考资料来源：百度百科——特征向量

参考资料来源：百度百科——对角阵

Answer 2

因为正交阵的每一列都肯定是单位阵，所以需要单位化；如果不用正交阵作对角化过程，只用一般的可逆阵，就可以不单位化。

线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量 。

线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。

扩展资料：

求特征值和特征向量

1、描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(A – λI) v = 0 （其中I是单位矩阵）有非零解v (一个特征向量)，因此等价于行列式|A – λI|=0 ；

2、函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。

3、一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。 反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。

4、所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。

5、一旦找到特征值λ，相应的特征向量可以通过求解特征方程(A – λI) v = 0 得到，其中v为待求特征向量，I为单位阵。没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。

Answer 3

要将每个特征向量单位化的原因是正交矩阵才能得到P^(-1)AP=P^TAP=Λ,既P的逆矩阵等于P的转置矩阵,否则只能使用P^(-1)AP=Λ.显然,转置矩阵要比逆矩阵好求多了.

Answer 4

因为P是正交矩阵，正交矩阵每一行（或列）都是单位向量，题中A恰有3个不同的特征值，而不同特征值对应特征向量必正交，所以就不用正交化，而是直接单位化。
一般情况下，若λ0是A的特征值，且是特征多项式的k重根，因为A可对角化，所以特征方程│A-λ0│=0的基础解系必包含k个解向量，则这k这个特征向量必须施密特正交化然后再单位化。
有定理：矩阵A可对角化的充分必要条件是A的每个特征值的代数重数等于其几何重数，即A有完全特征向量系。
希望楼主学业进步！