已知f(u,v)具有二阶连续偏导,f(1,1)=2为f(u,v)的极值,z=f(x+y,f(x,

Question

已知f(u,v)具有二阶连续偏导,f(1,1)=2为f(u,v)的极值,z=f(x+y,f(x,y)), 求z关于x,y的复合二阶偏导数。画圈部分为什么是f1，不应该是f2吗？

Answer 1

zx'=f'1(x+y,f(x,y)) + f'2(x+y,f(x,y)) * f'1(x,y)。

zxy''= f''11(x+y,f(x,y)) + f''12(x+y,f(x,y))*f'2(y) + f'1(x,y) * [f''21(x+y,f(x,y)) + f''22(x+y,f(x,y)) * f'2(y)]。

=f''11(x+y,f(x,y)) + f''12(x+y,f(x,y))*(f'1(x) + f'2(y)) + f'1(x) * f'2(y) * f''22(x+y,f(x,y))。

高阶偏导数

对于多元函数来说，若其一阶偏导数仍是关于每个自变量的函数，并且一阶偏导数对每个自变量的偏导数也存在，则说这个多元函数具有二阶偏导数。以此类推，有三阶偏导数，四阶偏导数等，我们把一阶以上的偏导数称为高阶偏导数。

Answer 2

zx'=f'1(x+y,f(x,y)) + f'2(x+y,f(x,y)) * f'1(x,y)
zxy''= f''11(x+y,f(x,y)) + f''12(x+y,f(x,y))*f'2(y) + f'1(x,y) * [f''21(x+y,f(x,y)) + f''22(x+y,f(x,y)) * f'2(y)]
=f''11(x+y,f(x,y)) + f''12(x+y,f(x,y))*(f'1(x) + f'2(y)) + f'1(x) * f'2(y) * f''22(x+y,f(x,y))

追问

为什么第一步后面乘的是f1'不是f2'