求不定积分 sinx/√(cosx)^3

Question

　sinx/√(cosx)^3

(sin3x)^2 cosx

(tanx)^3
，∫(sin3x)^2cosxdx=(1/2)∫(1-cos6x)dsinx=(1/2)(1-cos6x)sinx-3∫sinxsin6xdx这个详细点吗

Answer 1

　　解：1题，∫sinxdx/√(cosx)^3=-∫d(cosx)/√(cosx)^3=2/√(cosx)+C。
　　2题，∫(sin3x)^2cosxdx=(1/2)∫(1-cos6x)dsinx=(1/2)(1-cos6x)sinx-3∫sinxsin6xdx，
　　而∫sinxsin6xdx=(1/2)∫(cos5x-cos7x)dx=(1/10)sin5x-(1/14)sin7x+C，
　　∴∫(sin3x)^2cosxdx=(1/2)(1-cos6x)sinx-(3/10)sin5x+(3/14)sin7x+C。
　　3题，∫(tanx)^3dx=∫tanx[(secx)^2-1]dx=(1/2)(tanx)^2+ln丨cosx丨+C。
　　供参考。

追问

∫sinxdx/√(cosx)^3=-∫d(cosx)/√(cosx)^3=2/√(cosx)+C。这个能详细一点吗

追答

解：【为看得清楚一些，换种不大】设cosx=t，则sinxdx=-dt，
原式=-∫dt/t^(-3/2)=-1/(1-3/2)t^(-3/2+1)+C=2t^(-1/2)+C=2/√(cosx)+C。

追问

嗯 这个我知道了
∫(sin3x)^2cosxdx=(1/2)∫(1-cos6x)dsinx=为什么能换成下面的(1/2)(1-cos6x)sinx-3∫sinxsin6xdx

追答

　　∵有恒等式cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2=1-2(sinx)^2，∴(sinx)^2=(1/2)(1-cos2x)。
　　∴(sin3x)^2=(1/2)(1-cos6x)。再用分部积分法，即得。