设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1)

Question

设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|= 为啥解析里面第一步设圆心（a，a）为什么圆心在y=x上？

Answer 1

∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），
故圆在第一象限内，
设圆心（a，a），
|a|=
√(a-4)²+(a-1)²，
∴a=5+2
√2，或
a=5-2√
2，
故圆心（5+2
√2，5+2
√2
）
和
（5-2√
2，5-2√
2
），
|C1C2|=√
[4√2]²+[4√2]²=8，

Answer 2

圆c1，c2都和两坐标轴相切，且都过点（4,1）,说明c1和c2位于第一象限内，其圆心必然在y=x这条直线上。c1的圆心距离x轴的距离应该等于c1圆心距离（4,1）的距离，c2的圆心距离x轴的距离应该等于c2圆心距离（4,1）的距离，由此问题转化为寻找一条抛物线，其过c1和c2的圆心，其焦点为（4,1），准线为y=0，(x-4)^2=2(y-1/2),则该方程与y=x的交点为（5-2√2，5-2√2）和（5+2√2，5-2√2）
│c1c2│=8。