指数函数题，数学高手近！

Question

1、使等式：根号下（a－2）*（a^2－4)＝（2-a）*根号下（a＋2）成立的实数a的取值范围是什么？
2、设函数f(x)＝（a*2^x－1）/2^x＋1的定义域为R并且对任意的实数x都有f(x)+f(-x)＝0，求：
(1)实数a的取值；
(2)函数的值域。
3、已知函数f(x）＝a^2x＝2a^x－3（其中a>0且a不等于1),在区间[-1,1]上有最大值32,求此函数在区间[-1,1]上的最小值.
4、设f(x)＝（a^2x）/（a^2x＋a）（a>1)，若b＋c＝1，试求：
(1)f(b)+f(c)的值;
(2)f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+f(4/1001)+……＋f（999/1001）＋f（1000/1001）。
5、解方程
(1)根号下〔（4^（x^2)＋x－0.5）〕＝四次根号下2
(2)3^（x＋1）＋9^x－18＝0
补：已知a^0.5＋a^－0.5＝2，求（a^1.5－a^－1.5）/（a^0.5－a^－0.5）的值
已知函数f(x)＝（x^3－x^－3）/2，g(x）＝（x^3＋x^－3）/2；
1、证明：f(x)是奇函数，并写出它的单调区间；
2、分别计算f(4)－2f(2)g（2）和f(9)－2f(3)g(3)，并概括出设计函数f(x)与g(x)对任意实数都成立的一个等式，并加以证明。
用定义证明:函数f(x)=log2底（1－x）在(-∞,1)上是减函数。

请写清过程，最佳答题者追加50分。

Answer 1

1.【解】
(a²-4)√(a-2)＝(2-a)√(a+2)
√(a-2)有意义，有a≥2
当a＝2时，原方程成立
当a＞2时，原方程化为(a-2)√(a+2)√(a+2)√(a-2)＝-(a-2)√(a+2)
两边同除以(a-2)√(a+2)，得√(a+2)√(a-2)＝-1，显然不成立
综上，a＝2

2.【解】
(1) f(x)＝(a*2^x-1)/(2^x+1)
f(x)＋f(-x)
＝(a*2^x-1)/(2^x+1)＋[a*2^(-x)-1]/[2^(-x)+1]
＝(a*2^x-1)/(2^x+1)＋(a-2^x)/(1+2^x)
＝a－1
由题意，f(x)＋f(-x)＝0，故a－1＝0，a＝1
(2) f(x)＝(2^x-1)/(2^x+1)＝1－2/(2^x+1)
因2^x＞0，有2^x+1＞1，0＜2/(2^x+1)＜2，-1＜1－2/(2^x+1)＜1
所以值域为(-1,1)

3.【解】
f(x)＝a^2x＋2a^x－3＝(a^x)²＋2a^x－3＝(1+a^x)²－4，x∈[-1,1]时
(1) 当0＜a＜1时，有a^x∈[a,1/a]，由于0＜1+a＜1+1/a
当x＝-1时，f(x)取得最大值(1+1/a)²－4＝32，解得a＝1/5
当x＝1时，f(x)取得最小值(1+a)²－4＝-64/25
(2) 当a＞1时，有a^x∈[1/a,a]，由于0＜1+1/a＜1+a
当x＝1时，f(x)取得最大值(1+a)²－4＝32，解得a＝5
当x＝1时，f(x)取得最小值(1+1/a)²－4＝-64/25
综上，f(x)在[-1,1]上的最小值为-64/25

4.【解】
(1) f(x)＝(a^2x)/(a^2x+a)＝1－a/(a^2x+a)＝1－1/[a^(2x-1)+1]
f(1-x)＝[a^2(1-x)]/[a^2(1-x)+a]＝1/[1+a^(2x-1)]
有f(x)＋f(1-x)＝1，所以f(b)＋f(c)＝f(b)＋f(1-b)＝1
(2) f(1/1001)＋f(2/1001)＋…＋f(999/1001)＋f(1000/1001)
＝[f(1/1001)+f(1000/1001)]＋[f(2/1001)+f(999/1001)]＋…＋[f(500/1001)+f(501/1001)]
＝1＋1＋…＋1（共500个1）
＝500

5.【解】
(1) √(4^x²+x-1/2)＝(4√)2
两边平方得：4^x²＋x－1/2＝√2
当x＝1/2时，4^x²＝√2，方程成立，因此x＝1/2是根
（可以判定方程还有一个实根在(1/2-√2,-√2/2)上，很抱歉，偶无能为力）
(2) 3^(x+1)＋9^x－18＝0
化为(3^x)²＋3(3^x)－18＝0，而3^x＞0，解得3^x＝3，x＝1

补1.【解】
a^1.5－a^-1.5＝(a^0.5)³－(a^-0.5)³
＝(a^0.5-a^-0.5)[(a^0.5)²+(a^0.5)(a^-0.5)+(a^-0.5)²]
(a^1.5-a^-1.5)/(a^0.5-a^-0.5)
＝(a^0.5)²＋(a^0.5)(a^-0.5)＋(a^-0.5)²
＝(a^0.5+a^-0.5)²－(a^0.5)(a^-0.5)
＝2²－1＝3

补2.【解】
(1) f(x)＝(x^3-x^-3)/2，定义域(-∞,0)∪(0,+∞)
f(-x)＝[(-x)^3-(-x)^-3]/2＝(-x^3+x^-3)/2＝-f(x)，所以f(x)是奇函数
在定义域上有f'(x)＝(3/2)(x^2+x^-4)＞0，f(x)在定义域上单调递增
即单调增区间：(-∞,0)和(0,+∞)（在各自范围内单调递增）
(2) f(x²)＝(x^6-x^-6)/2
f(x)g(x)＝[(x^3-x^-3)/2][(x^3+x^-3)/2]＝(x^6-x^-6)/4
有f(x²)＝2f(x)g(x)，对所有x∈R成立
f(4)－2f(2)g(2)＝f(9)－2f(3)g(3)＝0

补3.【解】
f(x)＝(log2)(1-x)
设任意x1,x2，满足x1＜x2＜1
有1－x1＞1－x2＞0，令k＝(1－x1)/(1－x2)，则k＞1，(log2)k＞0
有f(x1)＝(log2)(1-x1)＝(log2)[k(1-x2)]
＝(log2)k＋(log2)(1-x2)＞(log2)(1-x2)＝f(x2)
因此f(x)在(-∞,1)上是减函数

Answer 2

1.列出不等式组:a-2>0,a^2－4<0,a>=2或a-2<0,a^2－4>0,a>=2
解出来就可以了～

Answer 3

1.
(a-2)(a+2)sqrt(a-2) = (2-a)sqrt(a+2)
(a-2)( (a+2)sqrt(a-2) + sqrt(a+2) ) = 0
(a-2)sqrt(a+2)( sqrt(a+2)sqrt(a-2) + 1 ) = 0
所以，a = 2 or a = -2

2.
(a2^x - 1)/(2^x + 1) + (a2^(-x) - 1)/(2^(-x) + 1) = 0
(a2^x - 1)/(2^x + 1) + (a - 2^x)/(1 + 2^x) = 0
(a-1)(2^x + 1) = 0
a = 1
2^x ∈(0，+∞), 1/(2^x + 1) ∈(0，1)
f(x) = 1 - 2/(2^x + 1)∈(-1，1)

3. 你写错了吧？f(x)=a^2x + 2a^x - 3?
f(x) = (a^x + 3)(a^x - 1) = (a^x + 1)^2 - 4
在 [-1, 1] 上，a>0 a<>1, 当 x = 1 时有最大值，
32 = (a+1)^2 - 4, a = 5
当 x = -1 时有最小值
f(-1) = (1/5+1)^2 - 4 = -64/25

4.(1)
f(x) = 1 - a/(a^2x + a) = 1 - 1/(a^(2x-1) + 1)
f(b)+f(c) = 1 - 1/(a^(2b-1) + 1) + 1 - 1/(a^(2c-1) + 1)
= 2 - (a^(2b-1) + 1 + a^(2c-1) + 1)/(a^(2b+2c-2) + a^(2b-1) + 2^(2c-1) + 1)
b + c = 1
f(b)+f(c) = 2 - (a^(2b-1) + 1 + a^(2c-1) + 1)/(a^0 + a^(2b-1) + 2^(2c-1) + 1) = 2 - 1 = 1

4.(2)
f(1/1001)+f(2/1001)+...+f(1000/1001) =
f(1/1001)+f(1000/1001) + f(2/1001)+f(999/1001) + ... f(500/1001)+f(501/1001) = 1 + 1 + ... + 1 = 500

5.(1)
2^(2x^2) + x = 2^(1/2) + 1/2，其中一个解 x = 1/2，另外一个俺不会
5.(2)
(3^x)^2 + 3*3^x - 18 = 0
(3^x - 3)(3^x + 6) = 0
3^x > 0，所以，3^x = 3, x = 1

Answer 4

只会这个了
4.(2)
f(1/1001)+f(2/1001)+...+f(1000/1001) =
f(1/1001)+f(1000/1001) + f(2/1001)+f(999/1001) + ... f(500/1001)+f(501/1001) = 1 + 1 + ... + 1 = 500

Answer 5

君子协议:
给我你的E-mail,完美答案在一天之内奉上,答案很快就可以给你.
如果答案不满意可不要你分数.但答案满意速给分数.
我的E-mail是acbrr1985@163.com