超越数是什么？

Question

为什么圆周率是超越数?

Answer 1

超越数是指不满足任何整系数(有理系数)多项式方程的实数，即不是代数数的数。因为欧拉说过：“它们超越代数方法所及的范围之外。”(1748年)而得名。

几乎所有的实数都是超越数。

1882年，德国数学数学家林德曼（Lindemann，1852～1939）证明了圆周率 π＝3．1415926…… 是超越数。

实数中除代数数以外的数，亦即不满足任一个整系数代数方程  （n为正整数， ≠0）的数。理论上证明超越数的存在并不难，而且可知超越数是大量的。

但要构造一个超越数或论证某个数是超越数就极为困难。现今只有少量的数如π，e，等的超越性得到了证明，对其他一些有兴趣的数的超越性的研究是数学家十分关注的事。

扩展资料：

超越数的证明，给数学带来了极大的变革，它证明了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题，即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题都是尺规不能问题（无法用尺规证明的问题）。

π和e的无穷级数形式

有趣的是，π和e可以用无穷级数表示：

π=4*(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……)=4*∑((-1)^n/(1+2n)),n∈N

e=1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+……. =∑1/(n!),n∈N

π的反正切函数形式

除了无穷级数形式，π还可以用反正切函数表示：

π=16arctan1/5-4arctan1/239

π=24arctan1/8+8arctan1/57+4arctan1/239

Answer 2

超越数是复数中除代数数以外的数,亦即不满足任一个整系数代数方程anxn＋an-1xn-1＋…＋a1x＋a0＝0（ an≠0,n≥1 ）的数.理论上证明超越数的存在并不难,而且可知超越数是大量的.但要构造一个超越数或论证某个数是超越数就极为困难.现今只有少量的数如π,e,等的超越性得到了证明,对其他一些有兴趣的数的超越性的研究是数学家十分关注的事.

如果一个实数满足形式如anx n+a(n-1)x (n-1)+a(n-2)x (n-2)+~~+a2x 2+a1x+a0=0的整数系数的代数方程，其中N自然数。an,a(n-1),a(n-2),－－，a2,a1,a0都是整数，an>0,那么，这个实数就称作代数数。在实数中除了代数数外，其余的都是超越数。
　　超越数的存在是由法国数学家柳维尔在1851年最早证明的。关于超数的存在，柳维尔写出了下面这样一个无限小数。a=0.11000100000000000000000100--,并且证明取这个a不可能满足上面所列出的整数系数方程,由此证明了它不是一个代数数，而是一个超越数。后来人们为了纪念他首次证明了超越数，所以把数A称为柳维尔数
　　柳维尔数证明手，许多数学家都致力于对超越数的研究。1873年，严肃埃尔米特又证明了自然对数底E的超越性，从而使人们对超越数的认识更为清楚。1882年，德国数学家林德曼证明了圆周率也是一个超越数。这样，实数就可以按下面的方法来分类：
　　实数
　　｜｜
　　代数数超越数
　　｜｜
　　有理数无理数
　　超越数的证明，给数学带来了大的变革

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Answer 3

不能用加减乘除乘方开方六则运算得到的数，叫做《超越数》。
例如：
自然对数的底e就是一个超越数。仅仅可以用《级数展开》来计算它的近似值2.71828……
同样，圆周率π也是。3.1415926535……

Answer 4

无理数属于某个代数方程的根，但π不满足任何代数方程，所以π是超越数。人民教育出版社数学教材初三(上)2013年版~共6册，也称π为无理数。

Answer 5

超越数是不能作为有理系数多项式方程的根的数[2]，即不是代数数的数。因为欧拉说过：“它们超越代数方法所及的范围之外。（1748年）”而得名。
1844年，法国数学家刘维尔（J.liouville，1809 ~ 1882）首先证明了超越数的存在性。厄米特与林德曼先后证明了 e 与 π 为超越数。