导函数连续能否说明原函数处处可导,导函数不连续又能说明

Answer 1

导函数连续能否说明原函数处处可导，导函数不连续又能说明什么？

连续函数必定存在原函数，因此如果一个函数在C上连续，其原函数在C上可导。

导函数的性质独特，即使不连续也具有介值性（Darboux定理）。

导函数连续时，可以说明原函数处处可导。具体证明如下：

设函数在区间[a, b]上连续，其原函数可表示为F(x)，且在[a, b]区间内积分存在。

利用中值定理，对于任意x属于[a, b]，存在ξ介于x和x+h之间使得：

F(x+h) - F(x) = f(ξ) * h

令h趋向于0，可以得到F(x)的导数为f(x)。

当导函数连续时，由洛必达法则可知，原函数F(x)在区间[a, b]上可导。

当导函数不连续时，虽然原函数F(x)不一定处处可导，但导函数不连续仍然具有介值性。这意味着如果在某区间内导函数不连续，那么存在至少一点使得导函数在该点附近具有介值性。

总结而言，导函数连续时，可以说明原函数处处可导。而导函数不连续时，虽然原函数可能在某些点不可导，但导函数仍保持介值性，这是它的一个重要性质。