证明是否存在函数，满足：“处处可导，但导函数处处不连续的”

Question

因为已经知道了，有一种“处处连续，但处处不可导”的函数，但网上找不到关于这种函数是否存在的论证

Answer 1

结论是否定的。事实上，闭区间I上可导函数的导函数的连续点集必然是I上的稠密集！

可参见周民强著《实变函数论》55页思考题5. 大致思路如下：

首先，记f_n(x)=n[f(x+1/n)-f(x)]，则f_n是连续函数。由于f处处可导，对每个x∈I, f_n(x)->f‘(x). 这样f'就是一个连续函数列的极限函数。

然后用实变里常用的分割集合的技术，可以证明：f'的不连续点集包含于一列无内点闭集的并（从而是第一纲集）。因此f'的连续点集包含一列稠密开集的交，也是稠密集。

追问

太深的我也不会啊，其实只是想问个大概思路，知道有没有定论而已：

1.稠密集是不是就是Gδ集啊？
2.稠密开集合的交非空？？
3.无内点闭集是零测集吗？

追答

以下讨论都是在欧氏空间上进行。
1. 不是。稠密集是指其闭包是全集；Gδ型集是指“能表为可数个开集之交”的集合。
2. 是的！不但如此，其交还必须是稠密集。可用Baire纲定理证明。
3. 不是。零测集是指测度为0的集合。

如果没接触过实变函数和拓扑的话，这些概念恐怕不太好理解。但结论是肯定的。

追问

哦，

无内点闭集和零测集没有必然联系？

追答

没有的说~比如类Cantor集（Harnack集），就是一类非空无内点的闭集，测度>0.

Answer 2

一个连续函数处处可导，而它的导函数不一定连续
例如分段函数 f(x)
当x=0时，函数值为0
当x≠0时，函数f(x)=x^2*sin(1/x)

其导数 g(x)显然x≠0时，g(x)=f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)；g(0)=f'(0)=0（利用定义可以求解，这里过程略）但是g(x)在x=0处显然不连续（按照定义判断吧，x=0处的左右极限均不存在）

导函数处处不连续的就不知道，是不是有这样的函数一定满足