25题 答案c求解 如果fx是二次函数的话 f(fx)不就是四次的了吗？

Answer 1

对的。
A：常数函数，肯定不对，不会是常数。设y=f(x)=m,f(f(x))=f(y)=m,
B：线性函数，就是直线，肯定不是。设y=f(x)=mx+n,f(f(x))=m(mx+n)+n=m²x+mn+n，还是线性函数，与题意矛盾。
C：二次函数，不对。
设y=f（x）=mx²+nx+p(m≠0）
f(f(x))=m(mx²+nx+p)²+n(mx²+nx+p)+p=m³x^4+2m²nx³+（2m²p+mn²+mn）x²+（2mnp+n²）x+mp²+np+p，是四次函数。
D：增函数，也不对，x趋近于±∞，函数也是趋近于﹢无穷大，不是单调递增的。
设y=f(x)，
设z=f（y）=f(f(x)),两边求导：
（df/dy）（dy/dx）=2ax+b=f'(y)f'(x),如果是增函数，f'(x),f'(y)都是正数，但是2ax+b是一条倾斜直线，不可能总是正数。
E：不可逆函数，正确。
设f(x)可逆，则x=f^-1(y),代入得：
f(y)=a[f^-1(y)]²+bf^-1(y)+c
根据反函数导数规则：dy/dx=1/（dx/dy），f'(x)=1/f'(y)
两边对y求导
f'(y)=2a[f^-1(y)](1/f'(y))+b(1/f'(y))
[f'(y)]²=2ax+b,只有2ax+b≥0时，才有意义。
f'(y)=±√(2ax+b)
对照前面：
[f'(y)]²=2ax+b=f'(y)f'(x)
f'(y)(f'(y)-f'(x))=0
f'(y)=0,f是常数，或者至少y是常数，前面已证明不可能。
f'(y)=f'(x)，恒成立，只有f'是常函数，或者y=x，
如果f’是恒常数，f(x)=mx+n,是直线，前面已经证明不存在。

如果y=f(x)=x,
f(f(x))=f(y)=f(x)=x,不成立。

另外，从前面的反函数导数规则f'(x)f'(y)=1=2ax+b,也得到矛盾。