已知 a,b,c均为正数。证明：a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 ≥ 6√3

Question

这类题到底怎么做！我都要爆粗口了，死凑吗？死凑想不出什么时候想得出！

Answer 1

解a^2+b^2+c^2≥3(开3次)√a^2b^2c^2................................(a=b=c是等号成立)
1/a+1/b+1/c≥3(开3次)√1/a×1/b×1/c=3(开3次)√1/abc......(a=b=c是等号成立)
即(1/a+1/b+1/c)^2≥9(开3次)√1/a^2b^2c^2
即a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2
≥3(开3次)√a^2b^2c^2+9(开3次)√1/a^2b^2c^2
≥2√3(开3次)√a^2b^2c^2×9(开3次)√1/a^2b^2c^2
=2√(3×9)
=6√3

追问

能写出来吗看不懂

追答

三次均值不等式。
平时学的是二次不等式。

追问

我意思是说，把过程写下来，不要用【^】这玩意，实在看不懂orz

Answer 2

参考：
证明：
a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2
=a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+2/ab+2/bc+2/ca

由均值不等式：

1/a^2+1/b^2>=2/ab

1/b^2+1/c^2>=2/bc

1/c^2+1/a^2>=2/ca

上三式相加得2(1/a^2+1/b^2+1/c^2)>=2(1/ab+1/bc+1/ca)

也即1/a^2+1/b^2+1/c^2>=1/ab+1/bc+1/ca
所以a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+2/ab+2/bc+2/ca>=a^2+b^2+c^2+3(1/ab+1/bc+1/ca)=(a^2+3/ab)+(b^2+3/bc)+(c^2+3/ca)>=2√(3a/b)+2√(3b/c)+2√(3c/a)>=6√3

追问

所以后面什么意思看不懂，能写出来吗