求下面方程所确定的函数y＝y（x），求二阶导数。

Question

求下面方程所确定的函数y＝y（x），求二阶导数。谢谢！望手写~

Answer 1

两边同时求导：
1/√(x²+y²) * (2x+2yy′)/[2√(x²+y²) = 1/(1+x²/y²) * (y-xy′)/y²
(x+yy′)/(x²+y²) = y²/(y²+x²) * (y-xy′)/y²
x+yy′ = y-xy′
xy′+yy′ = y-x
y ′ = (y-x)/(y+x) = (y+x-2x)/(y+x) = 1 - 2x/(x+y)

继续两边求导：
y ′′ = {2(x+y)-2x(1+y′)}/(x+y)²
= 2y{1-y′)}/(x+y)²
= 2{1-1 +2x/(x+y)}/(x+y)²
= 4x/(x+y)³

追问

我算的答案和你的不一样，y'是一样的。

追答

啊？
你的结果如何？

追问

我是这个答案，我是不是哪里算错了😭

追答

你做对了，是我上面写错了，应为：
y ′′ = {-2(x+y)+2x(1+y′)}/(x+y)²

= {-2(x+y)+2x(1+y′)}/(x+y)²
= 2{-y+xy′)}/(x+y)²
= 2{-y+x(y-x)/(y+x)}/(x+y)²

= 2{-y(x+y)+x(y-x)}/(x+y)³
= 2{-xy-y²+xy-x²}/(x+y)³

= -2(x²+y²)/(x+y)³