已知函数f(x)=loga(ax-1) (a大于0且不等1)

Question

已知函数f（x）=loga（ax-1） （a大于0且不等1）
（1）求函数f（x）的定义与
(2）讨论它的单调性
(3)x为何值时,函数值大于1
ax是a的x次

Answer 1

(1)要使得函数f(x)有意义，则：ax-1＞0；即：ax＞1

当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域为：(-∞，0)。

当a＞1时，函数f(x)的定义域为：(0，+∞)。

（2）当0＜a＜1时，函数f(x)在(-∞，0)上增函数。

当a＞1时，函数f(x)在(0，+∞)上为亦为函数。
(3)如果0<a<1
那么loga(a^x-1)>1
loga(a^x-1)>loga a
a^x-1<a
a^x<(a+1)
x>loga(a+1)
与定义域取交集，得到loga(a+1)<x<0

如果a>1
loga(a^x-1)>1
a^x-1>a
a^x>(a+1)
x>loga(a+1)
与定义域取交集
得到x>loga(a+1)

Answer 2

解：（1）由ax-1＞0，得ax＞1．（1分）
当a＞1时，x＞0；（2分）
当0＜a＜1时，x＜0．（3分）
所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（-∞，0）．（4分）
（2）当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，（5分）
则ax1＜ax2，所以ax1-1＜ax2-1．（6分）
因为a＞1，所以loga(ax1-1)＜loga(ax2-1)，即f（x1）＜f（x2）．（8分）
故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．（9分）
当0＜a＜1时，任取x1、x2∈（-∞，0），且x1＜x2，（10分）
则ax1＞ax2，所以ax1-1＞ax2-1．（11分）
因为0＜a＜1，所以loga(ax1-1)＜loga(ax2-1)，即f（x1）＜f（x2）．（13分）
故当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，0）上也是增函数．（14分）