设函数fx为奇函数且对任意xy属于R都有fx-fy=f (x-y)当x<0时f(x)>0 f(1)=-5,求f(x)

Question

设函数fx为奇函数且对任意xy属于R都有fx-fy=f (x-y)当x<0时f(x)>0 f(1)=-2,
1 证明fx是奇函数
2 证明fx在R上为减函数
3 若f 2x+5 + f 6-7x＞4 求x的取值范围

Answer 1

解：1)证明：令x=y=0,可得f(0)-f(0)=f(0),∴f(0)=0
令x=0,可得f(0)-f(y)=f(-y),即-f(y)=f(-y)，∴函数为奇函数；
2)证明：设x<y,且x,y∈R,所以x-y<O,所以f(x)-f(y)=f(x-y)>0,
即f(x)>f(y),∴函数为减函数；
3)由1)知函数为奇函数，则f(-1)=-f(1)=2,∴f(-1)-f(1)=f(-2)=4,
∵f(2x+5)+f(6-7x)=f(2x+5)-f(7x-6)=f(-5x+11)>4=f(-2),且函数为减函数。
∴-5x+11<-2 ∴x>13/5

Answer 2

1)证明：令x=0;可得-f(y)=f(-y)所以为奇函数；
2）证明：设x<y;且xy属于R;所以X-Y<O;所以f(x)-f(y)=f(x-y)>0;所以函数为减函数；
3）易得f(-1)=2;所以f(-1)-f(1)=f(-2)=4;

又因f(2x+5)+f(6-7x)=f(2x+5)-F(7x-6)=f(-5x+11)>4
所以-5x+11<-2 所以x>13/5